ГЛАВА ПЯТАЯ

ТУПОСТЬ И ГЕНИЙ

«Бесконечность — пучина, в которой тонут наши мысли»

Симон Люилье

 «Игра в математику происходит в полном безмолвии, без единого слова…»

Герман Вейль

 «… не следует слишком удивляться, если попытки описания природы приведут нас в конце концов к логике, этому «воздушному замку» в самом центре математики. Если, как считают, вся математика сводится к математической логике, а вся физика — к математике, то разве не единственной возможностью является то, что физика сводится к математической логике? Логика — единственная область математики, которая может «размышлять о себе самой».

Ч. Мизнер, К. Торн, Дж. Уилер «Гравитация» [1]

«Я не знаю более совершенного способа и сохранить для науки чувственное представление, и в то же время ограничить его в сравнении с научным понятием […], кроме толкования понятия как предела и представления как переменной величины, стремящейся к пределу. … Переменная величина имеет предел, говорят математики, если разница между ней и ее пределом может стать меньше любой заданной величины, т.е. вечно стремится к нулю. Что этим чувственное представление буквально спасается для науки, это совершенно ясно. Вместо расплывчатого пятна неизвестно чего, вместо абсолютной текучести дряблого чувственного марева представление получает определенную закономерность, оно получает научный смысл, его уже нельзя просто отбросить, оно — настоящий фундамент науки. Но в то же время все его логическое значение держится, по нашей теории, только его пределом, т. е. понятием, общим, которое им управляет, как в математике предел управляет соответствующей ему переменной величиной. В этом пределе нет ровно ничего таинственного или сверхъестественного. Это—самая обыкновенная конечная величина».

Алексей Фёдорович Лосев («Хаос и структура»)

«Тупость и гений»… Так назвал свою статью академик АН СССР А. Д. Александров, в которой он подробно рассказывает о трудном и противоречивом пути становления неевклидово геометрии, являющейся одной из заявленных в предыдущей Главе математических форм диалектического движения человеческой мысли, которая в философии была выражена и известна как спекулятивный философский метод Ф.Гегеля.

И хотя рассмотрение всех математических форм мы будем производить  в строго заявленном порядке, то есть черёд неевклидовой геометрия наступит лишь в конце настоящей Главы, её начало справедливо венчает неотделимая друг от друга пара «гениальность – тупость».

Впрочем, если вдуматься разве гениальность это высшая мера развития человечности?

Нет. Скорее наивысшая мера явления духа человека – в человеке, в котором и несломимое мужество, и упорство, и абсолютная независимость от мнения и точек зрения иных, и умение прежде всего найти в самом себе необходимое духовное основание, на котором только и можно устоять в воистину страшном противостоянии … всемирной тупости – тупости как активности потенциала сил тьмы и зла.

История становления неевклидовой геометрии в этом отношении весьма и весьма показательна и поучительна.

Тупые – безымянные толпы армии тьмы!

Тупость – обезличенная личина зла!

Тупоумие – основа основ всех мыслимых и немыслимых форм тирании над человечностью, демонстрируемых самим человечеством!

Демонстрируемых и допускаемых Всеобщим («Богом») с единственной целью – показать как можно ярче и отчетливее всему тупому человечеству вместе и каждой его частице в отдельности его омерзительную тупость! 

Для чего?

Да чтобы помочь, побудить, заставить человека мыслить.

***

Итак, начнём наше движение.

Кажется Рене Декарт сказал, что нельзя придумать ничего столь странного и невероятного, что не было бы уже высказано кем-либо из философов. И это действительно так, это – правда.

Глава Пятая и посвящена такого рода правде, а точнее – истине спекулятивной гегелевского философии, спекулятивный характер которой означает лишь опору  этой философии на бесконечное, а истинность – её всеобщность, всепроникающий свет которой мы будем искать и находить в пространстве математики.

Предмет нашего исследования: «философия и математика» – предмет, который кажется и необозримым,  и неисчерпаемым. Но истины ради необходимо отметить, что число тех, кто достоин звания «философа» в столь специфической области  математики вполне хватит пальцев одной руки.

Один из них и по всей очевидности достигший самых выдающихся результатов - Алексей Федорович Лосев.

Ранее уже было отмечено, что если наблюдать философию под предельно острым диалектическим углом зрения, который как раз и легко позволяет увидеть тех, кто на голову, а то и на две выше всех остальных, то создаётся стойкое впечатление, что все иные философы делают вид, что никакого Лосева в истории философии вовсе не было, как не было и всего того что им написано в отношении того, что составляет саму сущность философского видения – её метод – диалектику.  

Философские работы и исследования Алексея Федоровича Лосева, которые мы используем,  написаны им в 30-40-х годах прошлого века и, как указано в послесловии к книге «Хаос и структура» (где они представлены), изданной в 1997 году, «ни одно из них не знало печатного станка при жизни автора».

Казалось бы, четырнадцатилетний период является вполне достаточным для ознакомления даже с учетом всей неповоротливости мысли философских масс, но нет, их вероятная задумчивость всё длится, длится и длится многозначительной тишиной, которую просто необходимо прервать, та как она уже неотличима от  тишины склепа.

И видимо весьма трудно выделить какую-то одну или даже несколько причин такого положения дел, если вообще возможно, но скорее всего она имеет кроме, разумеется, глубинной и законной – единой меры зрелости всеобщей философской мысли  и чисто психологические.

И потому Алексей Федорович Лосев – скромный русский гениальный философ вроде бы и есть, но фактически его, увы, нет, и эта нелепая антиномия, венчающая тупость и трусливость мысли всех тех, кто мог бы увидеть правду и сказать о ней всем, но не хочет видеть и боится её, – вопиёт, но вопиет, как всегда, когда люди имеют дело с пророками – в пустыне, пустыне человеческой глупости:  

«.. автор считает необходимым сказать, что его инфинитезимальная логика является пока только скромным  предложением и что она нуждается в подробной и внимательной  критике со стороны советских философов. Возможно, что здесь окажется многое неверным или излишним и что это предложение потребует в дальнейшем коренной переработки. Однако все это является только вполне естественным, поскольку данное предложение и  связанное с ним исследование являются новыми, ибо безопасным является только повторение старых трафаретов. Автор, во всяком случае, вдохновлялся известными словами товарища Сталина, что «овладеть марксистско-ленинской теорией—значит уметь  развивать ее и двигать вперед»» [2] .

Подобно тому [3] , как для западного и особенно звездно-полосатого обывателя всё то, что произносится и исходит из определенного источника, или имеет к нему некое отношение, источника априори имеющего (как он полагает) прямое отношение к злу, например, киношного злодея-террориста, не может быть истинным и быть правдой [4] . Так и обыватели от философии влившиеся, наконец, «в единую всемирную философскую семью», ныне случайно наткнувшись на словосочетания вида «тов. Сталин», «Владимир Ильич Ленин», «марсксизм-ленинизм» останавливаются в ужасе и, не желая «переходить на тёмную сторону», откладывают в сторону произведения, где содержится подобная философская бесовщина [5] .

Но Алексей Федорович Лосев в нечеловеческих условиях торжества лагерного сталинского «социализма», лагерного не в переносном, а в прямом смысле, двигал и двигал вперёд диалектику, и делал это настолько успешно и умело, что глядя из сегодняшнего дня его реверансы в сторону «советских философов» кажутся и нелепыми и даже унижающими.  

Итак, время представить новый материал, точнее, его часть, который и станет основой, с которой мы и начнём процесс обозрения пространства заявленной ранее сферы, сферы бесконечно малого, бесконечно большого и понятия предела неразрывно связанного с бесконечностью, которую человеческий ум решается охватить и становится в таком движении разумом. Кроме того, нельзя не отметить, что знания добытые А.Ф.Лосевым по настоящий момент являют собой великолепный учебный материал к которому, как правило, мало что можно добавить:

«1. Бытие, небытие, становление. Приступая к логическому анализу всех основных категорий, оперирование с которыми создает науку математического анализа, мы должны помнить, что далеко не все, понятное математически, тем самым является понятным и с философской точки зрения. Часто бывает так, что математик ограничивается каким-нибудь очень коротким разъяснением или формулой, философ же затрачивает массу времени и пространства, чтобы эту короткую и простую формулу разъяснить для себя и понять. Точно так же нередки и случаи, когда весьма пространные математические выкладки для философа не имеют почти никакой цены и из массы доказательств важной оказывается только какая-нибудь одна идея. Тем не менее давно уже настало время, когда математический анализ требуется понять широко философски и ощущается насущная потребность вывести его из формалистического тупика и пустой, бессодержательной трактовки.

Мы рассмотрим ряд категорий, приводящих к самому понятию бесконечно-малого, потому что понятие это с логической точки зрения довольно сложное и те определения, которые мы имеем в руководствах по анализу, для нас слишком формалистичны и  техничны. Они совсем не вскрывают ту логическую структуру, которая кроется в понятии бесконечно-малого.

Мы начнем с тех трех категорий, с той общезначимой  диалектической триады, без которой невозможно вообще никакое  логическое построение, и каждое логическое построение есть только вид этой триады, один из бесконечно разнообразных ее случаев. Это та триада, с которой начинается всякая диалектика:

1) бытие,

2) небытие (инобытие),

3) становление.

Тут прежде всего — бытие [6] . Почему диалектика начинается с  бытия? Потому что всё, всякая категория, прежде чем быть самой собой, должна просто быть. Прежде чем быть чем-нибудь и как-нибудь, надо сначала просто быть. Вот почему диалектика, желающая дать всю область знания в системе, необходимым образом начинает с «бытия». Бытие—первый шаг, первый жест, первое движение, первая точка диалектики. Без этой точки, без этого первоисточника никакое построение невозможно [7] .

Далее, бытие не может остаться только бытием, просто  бытием. Бытие не есть бытие вообще. Если бы оно всегда оставалось бытием вообще, мы никогда не смогли бы получить никаких  конкретных форм бытия. Существует не просто бытие, но и разные виды бытия. А для этого нужна такая универсальная категория, которая бы сделала возможным существование этих разных видов бытия. Такой категорией является инобытие, т. е. иное, другое бытие, являющееся по отношению к первому общему бытию отрицанием его, отсутствием его, небытием. Как только мы положим бытие, так тут же необходимо полагать и небытие, это понятия соотносительные [8] . Если есть черный цвет, то он может быть только тогда, когда есть (или по крайней мере мыслится) не-черный цвет.

Если мыслится белое, значит, как-нибудь и где-нибудь существует «не-белое». Также и «бытие», если оно реально есть или мыслится, то тем самым есть или мыслится «инобытие» [9] .

Но стоит только немного задуматься над той антитезой бытия и небытия, как становится совершенно ясно, что остаться при такой антитезе совершенно невозможно. Если оставить эти две области бытия и небытия в их голой и абсолютной противоположности, то совсем не будет достигнута цель, ради которой мы и ввели понятие инобытия. Мы ввели его для того, чтобы вместо абстрактного и общего бытия получить его конкретные виды. Но если инобытие будет абсолютно оторвано от бытия и не будет как-то с ним совмещено,— не возникнет и никаких конкретных видов бытия.

Необходимо их как-то объединить, эти категории бытия и небытия, как-то нащупать то, что есть в них общего и что могло бы нейтрализировать этот дуализм двух противоположных логических стихий. Но что значит найти общее, что значит объединить? Это значит найти такую новую категорию, где обе полученные уже содержались бы и где они были бы покрыты чем-то третьим, что их и объединило бы.

Такой категорией является становление. В становлении мы находим прежде всего то, что становится. Стало быть, тут бытие налично. Но вместе с тем здесь же мы имеем тоже и некое как бы отталкивание от этого бытия. Становление есть ведь некий процесс, где бытие все время меняется и переходит в другое. В каждый мельчайший момент своего становления бытие—все иное, иное и иное. Оно тут никогда не одно и то же. В каждый мельчайший новый момент бытие оказывается небытием в отношении к прежнему бытию, к бытию в его прежней форме. И таким образом, в каждый мельчайший момент становления становление оказывается и бытием, и небытием. Потому в диалектике и говорят, что бытие и небытие синтезируются в становление.

2. Целое, дробное, бесконечность. Тут мы пока еще у преддверия анализа бесконечно-малых, но пока еще не вошли в него, не получили еще самого понятия бесконечно-малого. Попробуем  конкретизировать достигнутую нами диалектическую ступень — с тем чтобы дойти постепенно и до этого понятия.

Первое, с чем мы тут встретимся,— это понятие и область числа. Когда мы выставляли указанную диалектическую триаду, мы не имели в виду чисел, а говорили в применении вообще ко всяким возможным предметам мысли. Теперь необходимо эту же самую триаду провести в чисто числовой области.

Разумеется, различных форм приложения этой триады к  области чисел очень много. Так, напр., если мы возьмем  положительное число, то антитезой к нему будет, очевидно, отрицательное число [10] , а синтезом, в котором соединится то и другое, будет, очевидно, нуль. Но эта триада неинтересна в смысле получения понятия бесконечно-малого, и она ничего не разъясняет нам в математическом анализе. Потому подробно говорить о таких построениях надо только в общей философии числа, но не в логике математического анализа. Что же в числе есть такого, диалектическое понимание чего приводит нас вплотную к математическому анализу?

Математический анализ есть исчисление бесконечно-малых.

Стало быть, здесь мы находимся в области учения о бесконечном.

Спрашивается: что такое бесконечность?

Самое простое и самое «понятное» популярному сознанию — это то, что бесконечность есть нечто, не имеющее конца. Хотя это как будто и ближе всего передает смысл данного понятия, тем не менее считать это вполне ясным совершенно невозможно. Как понимать это отсутствие конца? Обычно это понимается так, что, сколько бы мы ни двигались к границе, мы никогда не можем ее достигнуть. Другими словами, в понятие бесконечности вносят идею процесса. И это вполне справедливо, хотя, быть может, и  недостаточно. Самое простое и самое понятное — это понимать  бесконечность как бесконечный процесс. Однако этим нисколько задача не решается. Вместо того чтобы определить понятие, выраженное при помощи существительного («бесконечность»), мы в данном случае приходим к необходимости определять понятие, выраженное через прилагательное («бесконечный процесс»). И если мы там не понимаем, что такое бесконечность, то не станет она понятнее и здесь. Какой же процесс мы должны считать бесконечным? Вот вопрос, который теперь предстоит нам решить.

Пусть мы от 1 перешли к 2, от 2 к 3, от 3 к 4 и т. д. Спрашивается: можем ли мы когда-нибудь на этом пути получить бесконечно-большое число? Пусть мы знаем, что такое 2; и пусть нам известно, что такое 10. Можем ли мы путем прибавления отдельных единиц получить из двойки десятку? Конечно, можем. На пути прибавления к двойке отдельных единиц и лежит то самое число, которое называется десяткой. Но можем ли мы на этом же самом пути получить бесконечность? Очевидно, нет. Зная только одни конечные числа, мы, какими бы арифметическими операциями ни пользовались, никогда и никак не можем получить бесконечную  величину. Это значит, что бесконечность отличается от конечных величин отнюдь не количественно, а качественно [11] . Это какое-то особое качество среди количественных операций; и к нему нельзя прийти путем обычных количественных операций, но только путем «скачка».

Итак, ни голая процессуальность не определяет бесконечности, хотя и как-то входит в нее, ни голая количественность не  определяет бесконечности, хотя тоже как-то входит в нее. Приходится, следовательно, искать иных путей для нахождения понятия  бесконечности.

Обратим внимание на следующее. Бесконечность не  увеличивается и не уменьшается от количественного ее увеличения и  уменьшения. Стало быть, в каждом отдельном пункте бесконечность есть уже вся бесконечность, какие бы операции мы над ней ни  производили. Каждый момент бесконечности есть и вся целая  бесконечность. Раз ∞ + А (любое число) =∞, то ясно, что в бесконечности каждая отдельная ее часть равняется всей бесконечности, взятой в целом. Этого, разумеется, никогда не бывает в конечной области. Тут всегда часть меньше целого и целое больше части. Этим область бесконечности коренным образом отличается от области конечных величин. Тут, однако, кроется и еще одна категория.

Простое тождество целого и части еще ничего не говорит о  бесконечности, если эти категории брать самостоятельно. Нужно точнее определить способ отождествления целого и части и ясно ощущать форму этого отождествления. Этот способ и эта форма не могут быть статическими. Бесконечность, видели мы, есть прежде всего процесс. Следовательно, отождествление целого и части должно быть дано в процессе, в становлении. Становление должно  объединить целое и часть или, вообще говоря, целое и дробное, и тут-то и необходимо искать категорию бесконечности.

Как же протекает этот процесс отождествления целого и части в бесконечности?

Чтобы перейти от целого к дробному, надо перейти от бытия к небытию. Дробное—инобытие целого. Целое, воплотившись в инобытие, превращается в отдельные части и их сумму. В целом все элементы существенно связаны один с другим, почему они и являются элементами, или частями. Когда же целое воплощено в инобытии, все его элементы тоже воплощены в инобытии, но они уже дискретны друг в отношении друга, так как всякое инобытие есть всегда прежде всего внеположность и саморазличение,  самоотрицание. Итак, целое выражается внешне-инобытийным образом в дробном, в отдельных частях, в сумме частей, в том, что в  отличие от внутреннего центра целости можно назвать всем. Всё — воплощенное в инобытии целое.

Но если так, то спрашивается: может ли инобытийная стихия выявить внутреннюю целость вполне и адекватно? Конечно, может.

Тогда в инобытии мы находим именно всё. Но она может выявлять его и не полностью, не адекватно. Становление есть как раз такая категория, которая мешает в данном случае адекватному выявлению целости. В целом все дано сразу, а становление все дает постепенно, не сразу. Следовательно, если дать свободу стихии становления, то целое, хотя и будет все время дробиться на части (в инобытии) и будет в них постоянно присутствовать, оно никогда не получит полного выявления и всегда будет только стремиться к полноте выявления. Целое дробится на части, и эти части призваны выразить его целиком; но так как части эти тождественны с целым, то количество элементов целого присутствует в части, она тоже делится на те же части, а часть этой части опять, в силу своего тождества с целым, содержит в себе то же количество частей и т. д. и т. д. Идя по этому пути, мы никогда не сможем выразить всего целого при помощи его частей — и это потому, что части  возникают в результате постепенного дробления, т. е. в результате  становящегося дробления, в результате становящегося отождествления целого и частей.

Теперь мы можем дать некоторого рода логическую формулу, определяющую понятие бесконечности.

Бесконечность есть становящееся тождество (или  становящийся синтез) целого и дробного [12] .

Это простейшая концепция бесконечности, без которой невозможно будет понять и отдельных видов бесконечности. Тут мы видим, что без момента целости нельзя получить понятие бесконечного. Видим также, что в бесконечность входит и момент процесса, становления. Необходимо полнейшим образом представлять себе участие каждого из этих моментов в общем понятии бесконечности.

[…] Бесконечность не целое и не дробное. Но она и целое, и дробное, и нечто гораздо большее, в чем обе эти категории как бы взаимно растворяются. Это целое, из объединившее, есть становление одного другим, становление целого дробным и дробного, частного—целым. В бесконечности все последовательные моменты равны один другому, но они в то же время и различны, так как возникают они в процессе становления. Целое стремится выразиться в убывающих частях и не может, и части стремятся стать целым и не могут. Все это в процессе становления по самой природе своей алогично, т. е. нерасчленимо, неразличимо.

Бесконечность, таким образом, есть вид становления [13] . От становления вообще этот вид становления отличается тем, что тут совпадает не просто бытие с небытием, но именно целое с дробным. Каждый момент бесконечности представляет собою не просто переход от бытия к небытию и от небытия к бытию, т. е. не просто уничтожение и возникновение, но переход к раздробленности и обратно, т. е. рост целостности и дробления. Когда мы движемся в области бесконечности от одной точки к другой, то тем самым мы, во-первых, удаляемся все в большую дробность, но в то же время, во-вторых, обнимая все большее и большее количество точек, мы неизменно стремимся ко все большей и большей цельности. Такая структура числа, где эти два процесса являются существенно тождественными, такая структура числа и называется бесконечностью.

Из предыдущего вполне ясно, что бесконечность меньше всего определяется размерами. Бесконечность помещается в любых конечных размерах. Если мы возьмем линию длиною в 5 см, то на ее протяжении поместится бесконечное количество точек. Если мы возьмем линию длиною в 1 см, то, очевидно, на ней тоже поместится бесконечное количество точек. Если мы возьмем линию в 0,1 см, в 0,01 см, в 0,001 см длиною и т. д. и т. д., то и на этих линиях, как бы малы или велики они ни были, тоже помещается бесконечное количество точек. Отсюда совершенно ясно: бесконечная величина определяется не абсолютными размерами числа или вещи, но определенно — взаимоотношением их целости и их дробности, а именно тем взаимоотношением, когда они даны как полное тождество. […]

4. Непрерывность (постоянная и переменная величина), прерывность и предел. Однако прежде чем войти в рассмотрение самого  математического анализа, необходимо определить еще ряд   категорий, которые так же основоположены для анализа, как и понятие  бесконечности. Их тоже обычно излагают в случайной форме, не  связывая в диалектическую систему, в то время как это касается  самых основных сторон математики, и они не могут не иметь  диалектического строения, если все вообще категории возникают  диалектически.

Ряд категорий, которые требуют нашего рассмотрения, отличаются одним общим признаком. Число есть непосредственное бытие;  в нем нет еще различия между самим числом и его значением. До  сих пор мы имели число само по себе. Целое, дробное и бесконечное  число есть значения числа в смысле его внутреннего строения.  Чтобы узнать, является ли данное число целым или дробным,  необходимо всмотреться в само число непосредственно, не обращая  никакого специального внимания на фон, его окружающий. Это  касается и не только числа. Чтобы судить, является ли данная вещь  цельной, надо, очевидно, рассмотреть строение самой вещи, как  оно дано в контурах, внутри контуров данной вещи. Когда сосуд,  напр., имеет трещину или дыру, то для констатирования этого  достаточно только изучить сосуд в тех границах, которые даны  очертанием этого сосуда. И мы вполне будем в состоянии   определить, является ли данная ваза целой, или она разбита. Однако  о значении числа или вещи можно говорить и с точки зрения их  внешней судьбы. Можно представить себе, что вещь мыслится  совершенно неизменной сама по себе, но что она погружена или  вовлечена в какое-нибудь изменение, оставаясь сама по себе целой.  Можно иметь одно и то же число или комбинацию чисел и,  оставляя их в одном и том же виде, придавать им те или иные  внешние значения. Тут не будет ни просто числа, взятого в его  непосредственности, вне каких бы то ни было количественных  значений, ни числа, в котором имеются в виду только изменения во  внутренней структуре. Тут число вступит в новые значения при  полном сохранении внутренних структур или, вернее, независимо  ни от каких внутренних структур.

Прежде всего величина с этой внешней точки зрения может никак не меняться; она может иметь, так сказать, нуль изменения. Такую величину называют постоянной величиной. Антитезой к этой постоянной величине является, очевидно, переменная величина.

Что такое постоянная величина и что такое переменная   величина, это известно уже из элементарной математики. В анализе эта  пара понятий играет, однако, гораздо большую роль. […]

Но интереснее всего то, что получается от соединения этих  двух категорий—постоянной и переменной величин.   Диалектический синтез всегда особенно интересен; он часто таит в себе  полную неожиданность. Так, из синтезирования целого и дробного  получалась (быть может, с первого взгляда довольно неожиданно)  категория бесконечности. Что же получится из синтезирования  постоянной и переменной величин? Какова та категория, в которой  обе эти категории совпадают совершенно, точно сливаясь в полную  неразличимость на фоне вполне новой и в них не содержащейся  конструкции?

Такой категорией является непрерывность.

Подобно тому как бытие и небытие объединяются в   становление, так и постоянная величина с переменной объединяются в   непрерывной величине. […]

Непрерывная величина есть тождество постоянной и переменной величин.

Непрерывность, однако, не может быть утверждаема сама по  себе, без другой категории, которая с нею соотносительна. Раз  мыслится непрерывность, то тем самым должна мыслиться и прерывность. Одно без другого совершенно немыслимо. Таким   образом, достигнутый нами синтез непрерывности в свою очередь  переходит в новый антитезис, в прерывную величину, и,   следовательно, в свою очередь требует еще нового синтеза. 

Синтезом прерывности и непрерывности является предел. 

Предел немыслим вне понятия процесса. Предел есть то, что  достигается в течение того или иного определенного процесса.  Какой это процесс? Если это есть именно процесс достижения, то  это достижение происходит постоянно, постепенно. Чем больше  и дальше двигаемся мы в сфере этого процесса, тем ближе мы  к пределу, тем больше мы его достигаем. Итак, предел есть некое  движение, изменение и некий процесс.

Спросим теперь себя: какой же именно это процесс? С одной  стороны, даже самое понятие предела говорит о некоей   определенности и конечности. Движение происходит в определенном   направлении, и оно имеет какую-нибудь определенную, конечную цель.  Без этой идеи не может существовать никакого предела. Однако,  с другой стороны, предел в математике не мыслится просто, как  граница и конец. Этот предел в математике всегда мыслится как  нечто недостижимое, хотя и конечное, как нечто притягивающее  к себе издали приближенную величину, но никогда не совпадающее  с этой приближенной величиной. Предел, с одной стороны, конечен,  а с другой—эта его конечность никогда не может быть вполне  адекватно охвачена. Как это можно совместить?

Совместить это можно только тем обычным диалектическим  путем, который от бытия и небытия ведет к становлению.   Необходимо, чтобы достижение конечного предела и постоянное его  недостижение совместились во взаимном становлении, т. е. так,  чтобы достигнутая конечность все время сдвигалась с места и   заменялась другой, тоже достигнутой конечностью и чтобы   бесконечное, постоянное достижение выражалось, тоже постоянно, в определенных конечных пунктах. В таком становлении мы получаем,  следовательно, бесконечный ряд конечных величин, но эти конечные величины, уменьшаясь все больше и больше, приближаются  к определенной величине, хотя никогда ее и не могут достигнуть.  […] Заметим, что становление  алогично не только в том смысле, что оно неразличимо само в себе,  само внутри себя, но и в том, что оно неразличимо и по своей  периферии, т. е. не имеет никаких законченных границ и в этом  смысле безгранично. Отсюда понятно, почему становление   прерывности непрерывностью или непрерывности прерывностью никогда  не может быть кончено; по самому смыслу своему оно абсолютно  беспрерывно. И значит, предел, диалектически синтезирующий   непрерывность и прерывность — по типу категории становления,—  есть в одно и то же время и полная недостижимость для числового  процесса, и выраженность, достигнутость в каждый отдельный  момент этого процесса, причем эта выраженность и достигнутость  бесконечно интенсифицируется, возрастает.

Предел—это та категория, которая (правда, в довольно вялом виде) применяется уже и в элементарной математике. Главное ее место, однако, в математическом анализе; и тут на ней, можно сказать, построена целая наука.

Пусть в круг вписан квадрат. Если мы удвоим количество его сторон, то площадь его, конечно, увеличится и периметр его тоже  увеличится. Это удвоенное количество сторон может быть удвоено  еще раз, еще раз и еще раз. Оно может быть удвоено до   бесконечности. Периметр, последовательно меняющий свою форму в   зависимости от количества удвоений, будет стремиться, очевидно,  к окружности и в пределе совпадет с нею. Окружность, говорят,  есть предел вписанных многоугольников при бесконечном   увеличении количества сторон, равно как и предел описанных   многоугольников при бесконечном увеличении количества сторон.  Здесь окружность есть нечто определенное и конечное; каждый  многоугольник, вписанный или описанный, с любым   количеством сторон, есть тоже величина определенная и конечная; но  многоугольник тут дан не сам по себе, но в своем становлении  (в смысле увеличения количества сторон); потому и количество  сторон все время растет, по длине они делаются все меньше,  и, значит, в целом же они приближаются все больше и больше  к окружности; окружность для них—предел. Тут вполне отчетливо  выступают две основные категории—непрерывности и   прерывности и их синтетическое взаимопревращение, сплошной и   бесконечный переход непрерывности в прерывность и прерывности в   непрерывность.

Итак, вот диалектическая схема указываемых нами понятий: непрерывность, прерывность, предел, при этом непрерывность сама возникает как синтез постоянной и переменной величин.

5. Бесконечно-малое и бесконечно-большое. Только теперь мы можем формулировать то основное понятие, на котором строится весь математический анализ,— понятие бесконечно-малого (и,  значит, бесконечно-большого). Оно возникает как напряженное,  конденсированное выражение всех только что рассмотренных нами категорий.

Непрерывность (с постоянной и переменной величинами),   прерывность и предел — все это, вместе взятое, может рассматриваться  как нечто целое. Именно — это то, что противостоит числу, взятому  в его чисто арифметическом виде, т. е. числу, взятому как   непосредственное бытие. Когда мы берем числа натурального ряда и   производим над ними арифметические действия, то здесь не возникает  никаких сопоставлений каждого отдельного числа с тем или иным  его внутренним или внешним функционированием. Произведя,  напр., деление одного числа на другое, мы не ставим никаких  вопросов о том, являются ли эти числа, делимое, делитель и   частное, величинами постоянными, переменными, прерывными,   непрерывными или предельными. Никаких таких вопросов тут   совершенно не возникает. Это понятно. Все эти вопросы связаны с числом  в том или ином опосредствованном виде. […]

Самое простое математическое определение бесконечно-малого  есть следующее. Бесконечно-малое есть переменная величина,   имеющая своим пределом нуль. С виду простое, это определение,   однако, содержит в себе немало разных подчиненных моментов, и они  враздробь указаны нами в предшествующем, подготовительном  изложении.

Во-первых, бесконечно-малое есть величина переменная. Одно  уже это тянет за собою всю систему категорий, которую мы  наметили выше. И уже один этот момент накладывает   неизгладимую печать на всю изучаемую нами категорию.   Бесконечно-малое—это сплошь стихия становления, изменения; тут ничто не  стоит на месте, все движется и беспокойно требует расширения,  углубления, распространения.

Во-вторых, бесконечно-малое есть такая переменная величина,  которая имеет определенный предел. Отнюдь не всякая переменная  величина имеет предел, стремится к пределу. Возьмем самую   обыкновенную синусоиду. Эта равномерно вьющаяся вокруг прямой  кривая никуда не стремится, ни к какому пределу не стремится,  сколько бы ее ни продолжали. Она проходит одни и те же значения  бесконечное число раз; эти значения неизменно повторяются, и   кривая от этого ровно ни к чему не приближается и не стремится ни  к какому пределу. Бесконечно-малое [же] как раз имеет такой  предел, неизменно стремится к нему; предел управляет бесконечно-  малым и притягивает его к себе из таинственного полумрака   бесконечности. Это создает для понятия бесконечно-малого вполне   оригинальный стиль, который еще усиливается от других элементов  этого понятия. Подчеркнем, что изменение, поскольку речь зашла  о пределе, дано тут не само по себе, но в становлении, в   алогическом становлении. Оно само стремится в какую-то даль, и   стремится сплошно, неразличимо, безраздельно. Предел, следовательно,  достигается тут при помощи бесконечного процесса приближения.  Другими словами, этот предел никогда и нигде не достигается,  а дано только вечное стремление, вечное движение, неустанный  уход в бесконечные дали.

В-третьих, бесконечно-малое есть такая переменная величина,  которая имеет своим пределом нуль. Нуль в качестве предела рисует всю нашу картину вечного стремления совсем в другом,  в небывалом виде. Что это значит? Что значит это вечное  стремление—и к чему же? К нулю, в ничто, в небытие! Это значит,  что дух, живущий по законам бесконечно-малого, не только  стремится куда-то вдаль и не только это стремление вечно, но,  кроме того, тут ставится задача исчерпания бытия, охвата бытия  до последней его точки, использование его до тех пор, пока не  останется в нем нуль бытия, пока не перестанет существовать само  бытие и не превратится оно в ничто. Инфинитезимальный дух  хочет исчерпать все бытие, пережить всю стихию жизни, завоевать  до последней точки все существующее, охватить его умом и   сердцем, сделать соизмеримым с собою, адекватным себе, превратить  его из сверхразумной бездны в ощутимую бездну, перевести ее  всю-всю целиком на язык своего субъекта, своего сознания,  потопить и растворить в глубинах собственной личности. Вот что  значит это стремление бесконечно-малого к нулю как к своему  пределу; и вот почему это не вообще переменная величина и не  вообще процесс, хотя бы и бесконечный процесс, но процесс,  имеющий своею целью нуль, исчерпание охватываемого им бытия  до нуля.

В этом смысле бесконечно-большое мало чем отличается от  бесконечно-малого. Если бесконечно-малое есть переменная   величина, стремящаяся к нулю, то бесконечно-большое, очевидно, есть  отношение единицы к этому бесконечно-малому. Если α=1/β, то при  условии  lim α=0, lim β=∞, а при условии lim β=∞, lim α=0. Чем  больше уменьшается α, тем больше увеличивается β; и когда α  стремится к нулю, β стремится к бесконечности. Наоборот, чем больше  α, тем меньше β; и когда α стремится к бесконечности, β стремится  к нулю. Тут вполне ясна связь, существующая между бесконечно-  малым и бесконечно-большим. Когда мы имеем какой-нибудь  цельный предмет, то, уходя в его глубину с целью исчерпать его до  нуля, пользуясь идеей бесконечного процесса, мы сразу получаем  и бесконечно-малое, и бесконечно-большое: бесконечно-малое мы  получаем, если имеем в виду отдельные моменты процесса, и   бесконечно-большое,—если имеем в виду весь пройденный путь. Если  сравнить все целое с отдельной стремящейся точкой, мы получаем  уже не просто целое, но целое, разработанное именно с точки  зрения этой отдельной стремящейся точки, с точки зрения этого  бесконечно-малого, т. е. получаем бесконечно-большое. И   наоборот, сравнивши бесконечно-большое, возникшее из всех бесконечно-  малых, с целым, мы замечаем, что оно могло возникнуть   действительно только из передвижения бесконечно-малого, т. е. получаем  идею бесконечно-малого. Так связаны между собой эти оба   понятия, являясь, в сущности, одной и той же идеей, рассматриваемой  только с разных точек зрения.

Можно дать еще другое определение бесконечно-малого, хотя это определение, конечно, в сущности своей может быть только тождественным с первым. Именно, бесконечно-малое определяют еще так. Бесконечно-малое есть такая переменная величина,  которая может стать меньше любой заданной величины. Пожалуй, это определение несколько ярче подчеркивает момент   процессуальное, играющий такую огромную роль во всем понятии   бесконечно-малого. Тут важны именно слова «может стать меньше любой  заданной величины». В них выражена стихия становления, без  которой бесконечно-малое не существует. В предыдущем   определении момент становления и процессуальности выражен слабее, но  зато лучше выражена идея исчерпания неисчерпания, идея, так  сказать, «объятия необъятного». Этот момент тоже основной в   учении о бесконечно-малом. И таким образом, оба определения, имея  в виду один и тот же предмет, подчеркивают в нем одинаково  важные, хотя и различные, стороны, причем каждая из этих сторон  необходимо предполагает другую, так что в конце концов   безразлично, какую сторону выдвигать и на каком определении   останавливаться.

Итак, бесконечно-малое есть диалектический синтез числа в его  непосредственном (арифметическом) бытии и числа в его   опосредствованном (инобытийном в отношении к арифметическому) бытии.  Бесконечно-малое есть прежде всего некая чистая величина, и в этом  сказывается участие здесь арифметического элемента. С другой  стороны, это не просто арифметическая величина со всей ее   статической структурой, но такая величина, которая вобрала в себя и   воплотила в себе эти понятия, инобытийные в сравнении с арифметической  статической раздельностью,— непрерывность, прерывность, предел.  Поэтому можно дать такую диалектическую формулу понятия  бесконечно-малого.

Бесконечно-малое есть тождество (синтез) непосредственно-арифметической значимости числа и опосредствованно-инобытийного, внутренно-внешнего становления. Этот момент внутренно-внешнего становления важен потому, что, как мы помним, бесконечность  уже сама по себе, независимо от ее специального — инфинитезимального, или аналитического, типа есть синтез целого и дробного,  т. е. синтез внутренних особенностей строения числа, в то время как  природа непрерывности, прерывности и предела возможна у нас на  почве именно внешней ориентированности числа на окружающем  его фоне.

Предложенная формула, конечно, совершенно тождественна  с двумя указанными, чисто математическими определениями. Но  это есть формула философская, логическая или, точнее,   диалектическая, т. е. основанная на анализе и антиномико-синтетической  структуре понятий, в то время как те два определения суть чисто  математические определения, т. е. основанные на   формально-числовом, формально-счислительном объединении счетных величин.  В диалектике — понятия и категории, в математике — числа и   величины. В диалектике—антиномико-синтетическая связь понятий  и категорий, в математике—счислительно-счетная связь чисел и   величин» [14] .

Итак, на первый взгляд видимо стоит согласиться с тем, что бесконечность – это действительно та пучина, в которой тонет, и не может не пойти на дно, пуская пузыри и в нелепом барахтанье любая формально-рассудочная мысль…

Чтобы плыть, увы, – действительно, как ни странно нужно уметь плавать. В самом худшем случае и как говорится на худой теоретический конец – хотя бы понимать, что стихия, которой ты в данный момент окружен, предполагает совершенно иные двигательные движения рук и ног, которые очень существенно отличаются от указанных движений по поверхности земли в газовой среде.

Впрочем, возможно, конечно же, и прямо противоположное, но, по сути, также подпадающее под описываемую концепцию прохудившегося до неприличия ментального «конца»: совершенно неразумно нырять в бассейн, в котором полностью отсутствуют условия для реализации плавательных движений, или попросту говоря, в котором нет воды…

Для того человечеству и дан весьма длительный и непростой период адаптации, являющийся временем различения и выявления форм и типовых отношений в этих формах и к этим формам, чтобы наконец, быть готовым к любым поворотам судьбы; которой то ли к счастью, то ли к несчастью, то ли к непостижимому человечьим умом единству этих двух – не существует.

Нет судьбы, есть Провидение, надо лишь видеть его.

Но чтобы видеть Его необходимо видеть Им.

Последнему, впрочем, научить и вовсе невозможно, а научиться не так легко, как может, и вдруг захочется легионам ныне беззаботно и в весьма специфической радости беснующихся слепцов.

Но, кажется, пора двигаться вперёд, пора отчалив навсегда от чужих формально-конечных математических берегов, беззвучно скользить над бездной пучины-в-которой-тонет-всё, стараясь не вспенить её волнующейся поверхности, скрывающей бесконечно прозрачную хрустальную тайну того, что не имеет границ:

Прощай, чужая земля,

Но нам здесь больше нельзя.

Мы стали легче тумана,

Мы стали чище дождя.

Мы вновь вернемся сюда,

Но кто нам скажет тогда:

"Прощай, чужая земля,

Прощай!" [15]   

«На протяжении последних десятилетий математика прямо-таки упивалась всякого рода обобщениями и формализациями. Однако считать, будто она стремится к общему ради общего, значит неверно понимать заключенную здесь здоровую тенденцию. Дело обстоит иначе: любое естественное обобщение упрощает,  сокращая допущения, и тем самым позволяет понять определенные стороны некоторого необозримого целого. Разумеется, вполне может случиться, что обобщения в различных направлениях принесут понимание конкретного положения вещей в различных аспектах. В этом случае разговор об истинной  основе, истинном  источнике этого положения вещей отягчен субъективным и догматическим произволом»

Это - Герман Вейль, пожалуй, наиболее последовательный мыслитель-и-математик 20-го столетия, последовательный в правильной, т.е. соответствующей Истине постановке вопроса оснований математики и направления её развития, и на своём пути не раз достигавший выдающихся прозрений:

«Математика — это наука о бесконечном. Великим достижением греков  было преобразование полярной противоположности конечного и бесконечного в мощное и плодотворное орудие познания действительности. Интуиция бесконечного, спокойное и не задающееся никакими вопросами признание его были присущи восточному миру. Но на востоке эта интуиция оставалась лишь чисто абстрактным сознанием, равнодушно оставлявшим существование рядом с собой неоформленного, необработанного конкретного многообразия вещей. Это пришедшее с востока религиозное чувство бесконечного  овладело греческой душой в предшествовавшую греко-персидским войнам дионисо-орфическую эпоху. Греко-персидские войны и в этом отношении знаменовали собой разрыв западного мира с восточным. С этого момента указанная полярность и стремление к ее преодолению стали для греков движущим мотивом познания. Но всякий раз, когда, казалось, уже удавалось достигнуть желанного синтеза, старое противоречие возникало вновь и притом в еще более углубленном виде. Противоречие это определяло собою вплоть до наших дней ход развития теоретического познания.

 Тот вид, в котором понятие бесконечности могло быть введено в науку, впервые ему придан был Анаксагором. В одном дошедшем до нас отрывке из его сочинений говорится: «В малом не существует наименьшего, но всегда имеется еще меньшее. Ибо то, что существует, не может исчезнуть, как бы далеко ни было продолжено деление". Речь здесь идет о пространстве или о теле; непрерывное, говорит Анаксагор, не может состоять из дискретных элементов, которые отделены друг от друга и как бы отрублены друг от друга ударами топора. Пространство бесконечно не только в том смысле, что в нем не имеется конца; оно кроме того в любом своем месте бесконечно, так сказать, во-внутрь, и точка в нем может быть определена лишь путем бесконечного и от раза к разу все точнее и точнее фиксирующего ее процесса деления. Это представление противоречит интуиции покоящегося и законченного в себе бытия пространства. Для заполняющего его многообразия качеств пространство служит принципом их разграничения, впервые вообще создающим возможность существования различия в сфере качественного; однако пространство является не только принципом разграничения, но вместе с тем и принципом соприкосновения, непрерывной связи, в силу которой ни одна вещь не может быть отрублена от другой „как бы ударами топора". […]

Исчисление бесконечно малых нового времени, преобразованное Лейбницем и Ньютоном в мощное орудие для изучения природы, не могло со стороны логической своей строгости итти в сравнение с греческой теорией континуума. Зато значительно обширнее оказалась ныне область подлежащих его ведению проблем. Теперь речь стала итти уже об исследовании любых непрерывных форм и процессов, в особенности, же процессов движения. Страстная воля к действительности превалирует в эпоху нашей культуры над прозорливым греческим ratio. Если в свое время Эвдокс в строго сформулированной аксиоме отбросил понятие бесконечно малого, то теперь как раз наоборот, именно это расплывчатое и полное непостижимой загадочности представление положено было в основание нового исчисления *). Правда основоположники его Ньютон и Лейбниц довольно ясно выразили ту правильную идею, что речь идет не о законченном бесконечно малом, а о предельном переходе к нулю, но эта точка зрения не являлась первенствующей в общем ходе их мыслей, и они, очевидно, не знали, что выполнение перехода к пределу не только требует определения значения предела, но обязано также в первую очередь гарантировать его существование. По отношению к Ньютону дело объясняется тем, что в случае движения конкретный процесс его заключает в себе, по мнению Ньютона, в качестве момента скорость до всякого математического анализа. Что касается Лейбница, то взгляды его были затемнены тем ложным метафизическим представлением, будто бесконечно малое должно иметь место не в качестве чего-то действительно существующего, а только как чисто логическое основание.

И среди преемников Ньютона и Лейбница господствовал в общем тот взгляд, что бесконечно малые величины, бесконечно близкие точки на кривых и т. п. действительно существуют. С бесконечными рядами оперировали, не обращая внимания на вопрос об их сходимости. И хотя при этом все-таки ощущались некоторые затруднения и то в одном, то в другом пункте возникали неразрешимые противоречия, но что все это означало по сравнению с грандиозными успехами анализа и базирующегося на нем математического естествознания: „Allez en avant et la foivous viendra" *). Лишь крайне медленно развилась более осторожная теория пределов; только в начале XIX в. Коши удалось последовательное проведение ее и растворение застывшего бытия бесконечно малых величин в процессе перехода к пределу.

В новейших аксиоматических изысканиях в области арифметики и геометрии были построены разнообразные числовые системы, в которых аксиома Эвдокса не выполнена. Таким образом совсем не невозможно выработать такую четкую и свободную от противоречий систему арифметики, в которой имелись бы величины различных порядков. Но вместе с тем очевидно, что подобная арифметика была бы совершенно непригодна для анализа, ибо суть исчисления бесконечно малых заключается ведь в том, что на основании подчиненных известным элементарным законам отношений в области бесконечно малых величин познают при помощи интегрирования отношения, существующие в области величин конечных. Если же мы станем в анализе рассматривать бесконечно малые не с точки зрения процесса перехода к пределу, то процессы в области конечного и бесконечно малого становятся тогда совершенно чуждыми, независимыми друг от друга, и связующая их цепь оказывается разомкнутой. Взгляды Эвдокса в данном вопросе были несомненно правильными» [16] .

К слову, Вейль в своём докладе-выступлении, который дополняет приведенный выше опорный материал (в который мы будем далее вникать и учиться его понимать) и называется «Математический способ мышления» поднимает и иные весьма важные для нас в текущий момент вопросы, в частности вопрос почему мы, например, рассматривая реализацию моделей, поясняющих и главное – показывающих диалектические отношения форм, говорим именно о топологии: 

«…Мы умышленно избрали топологический подход, поскольку только он позволяет достичь широты, достаточной для того, чтобы мы могли охватить одновременно специальную и общую теорию относительности. Специальная теория относительности рассматривает причинную структуру как нечто геометрическое, жесткое, заданное раз и навсегда, в общей же теории относительности эта структура обретает гибкость и зависимость от вещества - так же, как, например, электромагнитное поле.

Анализируя природу, мы расчленяем явления на простые элементы, каждый из которых изменяется в определенном диапазоне возможностей, диапазоне, который обозрим для нас apriori потому, что эти возможности мы строим apriori чисто комбинаторным образом из некоего чисто знаковою материала. Многообразие точек пространства-времени является одним из конструктивных элементов природы, по-видимому, наиболее важным. […]

До сих пор я всячески подчеркивал конструктивный характер математики. В нашей фактически существующей математике с ним соперничает неконструктивный аксиоматический метод. Его классическим прототипом являются аксиомы геометрии Евклида. Аксиоматический метод был весьма остроумно использован Архимедом, а впоследствии Галилеем и Гюйгенсом при создании науки механики. При аксиоматическом методе все понятия определяются через несколько неопределяемых основных утверждений — аксиом, относящихся к основным понятиям. В прежние времена создатели теорий были склонны утверждать априорную очевидность своих аксиом, но это эпистемологический аспект проблемы, не представляющий интереса для математика. Дедукция происходит в соответствии с принципами формальной логики, в частности, следует схеме силлогистического вывода. Подобное аксиоматическое изложение moregeometrico [17] на протяжении долгого времени считалось идеалом любой науки. Спиноза предпринял попытку применить его к этике. Для математика безразличен смысл слов, выражающих основные понятия; любая их подходящая интерпретация, т.е. такая, при которой аксиомы становятся истинами, одинаково пригодна, и все суждения аксиоматизируемой дисциплины при такой интерпретации сохраняют свою силу, поскольку все они являются логическими следствиями из аксиом. […]

… математика рассматривает отношения в гипотетически-дедуктивном плане, не связывая себя никакой конкретной материальной интерпретацией. Ее интересует не истинность аксиом, а лишь их непротиворечивость; в самом деле, противоречивость apriori лишала бы нас надежды когда-нибудь найти подходящую интерпретацию. […]

Все же я считаю своим долгом заметить, что с тех пор, как аксиоматический подход перестал быть излюбленной темой специалистов по методологии, его влияние распространилось с корней на все ветви математического древа. Как мы уже успели убедиться, в основе топологии должен лежать полный перечень аксиом, определяющих топологическую схему. Одним из простейших и наиболее фундаментальных понятий, задаваемых аксиоматически, может служить понятие группы, проникшее во все разделы математики. Алгебра с ее полями, кольцами и т.п. от вершины до основания пронизана аксиоматическим духом. […]

Рассмотри сначала первую альтернативу. Приняв ее, мы должны считать, что математика есть прежде всего конструкция. Используемые в математике системы аксиом лишь устанавливают границы области значений тех переменных, которые участвуют в конструкции. Поясню это утверждение несколько подробнее на наших примерах причинной структуры и топологии. Согласно специальной теории относительности причинная структура задана раз и навсегда и поэтому может быть построена явно. Более того, эту структуру разумно строить вместе с соответствующей топологической средой, подобно тому, как, например, окружность вместе со своей метрической структурой получается путем выполнении нормального разбиения — деления каждой дуги на две равные части. Однако в общей теории относительности причинная структура представляет собой нечто гибкое: она должна лишь удовлетворять некоторым аксиомам, выведенным из опыта и оставляющим достаточную свободу. Но по мере развития теории устанавливаются законы природы, связывающие гибкую причинную структуру с другими гибкими физическими сущностями — распределением масс, электромагнитным полем и т. д., и эти законы, в которых гибкие явления выступают как переменные, в свою очередь оказываются результатом явных априорных теоретических построений. […]

Но довольно о первой альтернативе. Если принять противоположную точку зрения, то конструкция оказывается подчиненной аксиомам и дедукции, математика же предстает в виде системы аксиом, выбор которых зависит от соглашения, и выводимых из них заключений. В полностью аксиоматизированной математике конструкции отводится второстепенная роль: к ней прибегают при построении примеров, образующих мост между чистой теорией и ее приложениями. Иногда существует лишь один пример, потому что аксиомы определяют некий объект однозначно или по крайней мере с точностью до изоморфизмов; в этом случае необходимость перехода от аксиоматической структуры к некоторой явной конструкции становится особенно настоятельной. Еще более существенно отметить, что хотя аксиоматическая система и не предполагает построения математических объектов, она, комбинируя и неоднократно используя логические правила, строит математические суждения. Действительно, извлечение следствий из заданных посылок происходит по определенным логическим правилам, которые со времен Аристотеля неоднократно пытались свести в единый полный перечень. Таким образом, на уровне суждений аксиоматический метод есть чистейшей воды конструктивизм. В наши дни Давид Гильберт довел аксиоматический метод до горького конца, когда суждения математики, включая аксиомы, превратились в формулы и игра в дедукцию свелась к выводу из аксиом тех или иных формул но правилам, не учитывающим смысла формул. Игра в математику происходит в полном безмолвии, без единого слова, как игра в шахматы. Слова нужны лишь для того, чтобы объяснить и сообщить «игрокам» правила; и, разумеется, все рассуждения о возможностях игры, например выяснение вопроса о ее непротиворечивости, также происходит в среде слов и апеллирует к данным опыта.

На этом этапе, коль скоро он достигнут, расхождение между явной конструкцией и неявным аксиоматическим определением затрагивает самые основы математики. Конструктивный опыт перестает подкреплять принципы аристотелевской логики, когда эти принципы применяются к экзистенциальным или общим суждениям, относящимся к бесконечным областям, таким, как последовательность целых чисел или континуум точек. Если же мы примем во внимание логику бесконечного, то нам вряд ли удастся адекватно аксиоматизировать даже самые примитивные процессы, например, переход n₁ -> n₂, т. е. от целого числа n к следующему числу n'. Как показал К. Гёдель, всегда найдутся конструктивно очевидные арифметические суждения, не выводимые из аксиом, как бы вы их ни формулировали, и в то же время аксиомы, безраздельно правящие всеми тонкостями конструктивной бесконечности, выходят далеко за пределы того, что может быть подтверждено опытом. Нас не удивляет, что фрагмент природы, взятый в своем феноменальном изолированном бытии, бросает вызов нашему анализу с его незавершенностью и неполнотой; именно ради полноты, как мы видели, физика проецирует то, что дано, на то, что могло бы быть. Но удивительно другое: конструкция, порожденная разумом, — последовательность целых чисел, эта простейшая и самая прозрачная для конструктивного ума вещь, — обретает аналогичную неясность и ущербность, если подходить к ней с позиций аксиоматики. Но тем не менее это факт, отбрасывающий зыбкий отблеск на взаимосвязь опыта и математики. Несмотря на проницательность критической мысли — а может быть, благодаря ей — мы теперь гораздо меньше, чем наши предшественники, уверены в тех глубинных устоях, на которых покоится математика» [18] .

Мы начнём, конечно, с непоколебимой уверенности, уверенности в глубинных устоях, на которых по словам Вейля должна покоится математика, чтобы стать собой – уверенностью, должна стать простым знанием опять же простого понимания этих устоев:

А) Единство субъекта и объекта мышления, единство, порождающее бесконечное, конечное и их непрерывный переход друг в друга через самих себя:

«Когда мы говорим о мышлении, мы должны различать между конечным, лишь рассудочным мышлением, и бесконечным, разумным мышлением. Определения мышления, которые мы непосредственно преднаходим изолированными, суть конечные определения. Истинное же есть в себе бесконечное, которое не может быть выражено и осознано посредством конечного. Выражение бесконечное мышление может казаться странным, если придерживаться представления новейшего времени, будто мышление всегда ограничено. На самом деле, однако, мышление по своей сущности в себе бесконечно. Конечным называется, выражаясь формально, то, что имеет конец, то, что есть, но перестает быть там, где оно соприкасается со своим другим и, следовательно, ограничено последним. Конечное, таким образом, состоит в отношении к своему другому, которое является его отрицанием и представляет собой его границу. Но мышление находится у самого себя, соотносится с самим собой и имеет своим предметом само себя. Делая мысль своим предметом, я нахожусь у самого себя. «Я», мышление, согласно этому, бесконечно, потому что оно в мышлении соотносится с предметом, который есть оно само. Предмет вообще есть нечто другое, нечто отрицательное по отношению ко мне. Но если мышление мыслит само себя, то оно имеет предмет, который вместе с тем не есть предмет, т. е. имеет снятый, идеальный (ideeller) предмет; мышление как таковое в своей чистоте не имеет, следовательно, предела в себе. Конечным оно является лишь постольку, поскольку оно останавливается на ограниченных определениях, которые признаются им чем-то последним. Бесконечное, или спекулятивное, мышление точно так же определяет, но, определяя, ограничивая, оно снова снимает этот недостаток. Не следует подобно обычному представлению понимать бесконечность как абстрактное выхождение за всякий вновь возникающий предел, а следует понимать его тем простым способом, который мы разъяснили выше» [19] .

«Абсолютное знание есть истина всех способов сознания, потому что, как показало [описанное в "Феноменологии духа"] движение сознания, лишь в абсолютном знании полностью преодолевается разрыв между предметом и достоверностью самого себя, а истина стала равной этой достоверности, так же как и эта достоверность стала равной истине.

Чистая наука, стало быть, предполагает освобождение от противоположности сознания [и его предмета]. Она содержит в себе мысль, поскольку мысль есть также и суть вещи (Sache) сама по себе, или содержит суть вещи саму по себе (die Sache an sich selbst), поскольку суть вещи есть также и чистая мысль. В качестве науки истина есть чистое развивающееся самосознание и имеет образ самости [что выражается в том], что в себе и для себя сущее есть осознанное (gewusster) понятие, а понятие, как таковое, есть в себе и для себе сущее. Это объективное мышление и есть содержание чистой науки. Она поэтому в такой мере не формальна, в такой мере не лишена материи для действительного и истинного познания, что скорее лишь ее содержание и есть абсолютно истинное или (если еще угодно пользоваться словом "материя") подлинная материя, но такая материя, для которой форма не есть нечто внешнее, так как эта материя есть скорее чистая мысль и, следовательно, есть сама абсолютная форма. Логику, стало быть, следует понимать как систему чистого разума, как царство чистой мысли. Это царство есть истина, какова она без покровов, в себе и для себя самой. Можно поэтому выразиться так: это содержание есть изображение Бога, каков он в своей вечной сущности до сотворения природы и конечного духа» [20] .

Б) Метафизическое мышление было мышлением конечным, причина этого – застывший формализм понимания «предельного» как чего-то такого, что не может быть отрицаемым. Но любой предельный переход потому способен охватить предельное – само себя – и выйти за его-свои границы, что эти границы находятся не извне, а в самих глубинах того что понимается неким предельным и бесконечным:  

«Мышление прежней метафизики было конечным мышлением, ибо она двигалась в таких определениях мышления, предел которых признавался ею чем-то незыблемым, не могущим в свою очередь подвергнуться отрицанию» [21] .

В) Важнейшим является правильное понимание понятия именно как «понятие понятия», которое является особенным движением, а именно движением саморефлексии или самодвижением понятия в самом себе; такое движение приводит к тому, что постигая понятие человеческий разум раздваивается в нём – в себе – но улавливая движения раздваивания он в самом движении раздваивания-противоположения видит движение соединения раздвоенного. Причине этого в том, что каждая противоположность содержит в самом себе определение своего противоположного, а единство противоположностей является выражение сущности понятия:

«Отсюда для понятия сразу же вытекает следующее более точное определение. Так как в-себе-и-для-себя-бытие непосредственно дано как положенность, то понятие в своем простом соотношении с самим собой есть абсолютная определенность, которая, однако, как соотносящаяся лишь с собой есть точно так же непосредственно простое тождество. Но это соотношение определенности с самой собой как ее слияние (Zusammengehen) с собой есть также отрицание определенности, и понятие как это равенство с самим собой есть всеобщее. Но это тождество имеет точно так же и определение отрицательности: оно отрицание, или определенность, которая соотносится с собой; как такое, понятие есть единичное. Каждое из них есть тотальность, каждое содержит внутри себя определение другого, и потому эти тотальности суть в такой же мере просто лишь одна тотальность, в какой это единство есть расщепление самого себя, превращение себя в свободную видимость этой раздвоенности, раздвоенности, выступающей в различии между единичным и всеобщим как полная противоположность, которая, однако, настолько есть видимость, что когда постигается и высказывается одно, при этом непосредственно постигается и высказывается другое.

Только что изложенное следует рассматривать как понятие понятия. Может показаться, что это понятие не согласуется с тем, что обычно понимают под понятием, и можно было бы потребовать, чтобы было указано, каким образом то, что здесь оказалось понятием, содержится в других представлениях или объяснениях. Однако, с одной стороны, здесь не может идти речь о подтверждении, основанном на авторитете обыденного понимания; в науке о понятии его содержание и определение может быть подтверждено только посредством имманентной дедукции, содержащей его генезис, и эта дедукция уже находится позади нас. С другой стороны, дедуцированное здесь понятие необходимо распознать в том самом, что обычно предлагается как понятие понятия. Но не так-то легко выяснить то, что другие говорили о природе понятия. Ведь большей частью они вовсе не занимаются отыскиванием этой природы и предполагают, что когда говорят о понятии, каждому уже само собой понятно, о чем идет речь» [22] .

Г) Развитие и воплощение Всеобщей Мысли в сфере абстрактно-математического познания по существу так и не смогло достигнуть высшего и необходимого уровня и основания – уровня и основания спекулятивного гегелевского мышления его философской системы, застряв в общем и целом на первой ступени, на И.Канте и на его «вещи-в-себе». Бесконечное у Канта осталось содержательно формальным. Но форма не только может быть выражением и средством постижения истинного скрытого под ней, но и должна ей быть, ибо мысль двигаясь к основе основ не просто сводит эту основу к бесконечности ничто, но видит это «ничто» само формой бесконечного бытия.  Понятие, утверждает Ф.Гегель есть форма абсолютного, которая выше бытия и сущности, абсолютное является абсолютным основанием и являясь им определяет любую форму как абсолютную, рождающуюся в результате соотнесения абсолютного с самим собой. Форма, явление, таким образом, позволяют не только двигаться к  абсолютной истине, но и достигнуть её. Пустая непостижимая и потому бессмысленно-бессодержательная форма в виде «вещи-в-себе» раскрывается, и раскрывается именно для себя, и для себя не как исключительно «сотворенного» и потому поднимающегося лишь до уровня «вещности», но равноправного со-творца:

«Так как Кант определяет отношение разума к категориям как лишь диалектическое и притом понимает результат этой диалектики просто как бесконечное ничто, то бесконечное единство разума утрачивает еще и синтез, а тем самым и упомянутое выше начало спекулятивного, истинно бесконечного понятия; оно становится известным, совершенно формальным, чисто регулятивным единством систематического применения рассудка. Кант считает злоупотреблением со стороны логики то, что логика, которая должна быть только каноном критической оценки, рассматривается как органон для образования объективных взглядов. Понятия разума, в которых следовало бы ожидать более высокой силы и более глубокого содержания, уже не имеют ничего конститутивного, как это еще имело место у категорий; они только идеи; их, правда, вполне дозволительно применять, но под этими умопостигаемыми сущностями, в которых должна была раскрываться вся истина, разумеют не что иное, как гипотезы, приписывать которым истину в себе и для себя было бы полным произволом и безумной дерзостью, так как они не могут встретиться ни в каком опыте. - Можно ли было когда-нибудь подумать, что философия станет отрицать истину умопостигаемых сущностей потому, что они лишены пространственной и временной материи чувственности?

С этим непосредственно связана точка зрения, с которой следует вообще рассматривать понятие и назначение логики и которая в философии Канта понимается так же, как это обычно принято, а именно отношение понятия и науки о нем к самой истине. Уже выше было сказано о кантовской дедукции категорий, что, согласно ей, объект, в котором объединяется многообразное, охватываемое созерцанием, есть это единство лишь через единство самосознания. Здесь, следовательно, определенно говорится об объективности мышления, о тождестве понятия и вещи, которое и есть истина. Подобным образом и вообще признается, что, когда мышление усваивает данный предмет, это предмет тем самым претерпевает изменение и превращается из чувственного в мыслимый, но что это изменение не только ничего существенного в нем не изменяет, а, напротив, он истинен именно в своем понятии; в непосредственности же, в которой он дан, он лишь явление и случайность; что познание предмета, постигающее его в понятии, есть познание его таким, каков он в себе и для себя, и что понятие и есть сама его объективность. Однако, с другой стороны, опять-таки точно так же утверждается, что мы все же не можем познавать вещей, каковы они в себе и для себя, и что истина недоступна познающему разуму; что та истина, которая состоит в единстве объекта и понятия, есть все же лишь явление и притом опять-таки потому, что содержание-де есть лишь то многообразное, что дано в созерцании. По этому поводу было уже отмечено, что, напротив, именно в понятии снимается это многообразие, поскольку оно принадлежит созерцанию в противоположность понятию, и что через понятие предмет возвращают к его неслучайной существенности; эта существенность выступает в явлении, и именно поэтому явление есть не просто нечто лишенное сущности (Wesenloses), а проявление (Manifestation) сущности. Но ставшее вполне свободным проявление сущности и есть понятие. - Это не значит, что положения, о которых мы здесь напоминаем, суть догматические утверждения, ибо они выводы, вытекающие сами собой из всего изложения сущности. Теперешняя точка зрения, к которой привело это изложение, состоит в том, что понятие есть форма абсолютного, которая выше бытия и сущности» [23] .

Итак, логика диалектической логики не так уж сложна, но необходимо уметь, как говорит Ф.Гегель возвыситься от созерцания и представления о предмете до понятия и мысли о нём [24] , мысли, которая охватывает своё охватывание предмета, но такое охватывание вовсе не следует понимать как абстрактное выхождение за вновь возникающий предел, от чего предостерегал Ф.Гегель:

«Не следует подобно обычному представлению понимать бесконечность как абстрактное выхождение за всякий вновь возникающий предел, а следует понимать его тем простым способом, который мы разъяснили выше».

Речь здесь о том, что:

«…мышление по своей сущности в себе бесконечно. … Конечное… состоит в отношении к своему другому, которое является его отрицанием и представляет собой его границу. Но мышление находится у самого себя, соотносится с самим собой и имеет своим предметом само себя. Делая мысль своим предметом, я нахожусь у самого себя. «Я», мышление, согласно этому, бесконечно, потому что оно в мышлении соотносится с предметом, который есть оно само».

 И необходимо особо отметить, что именно это особое движение – движение рефлексии, находится в основании всех пока что непознанных или непонятых тайн в философии, логике, геометрии и математике, физике, социологии и политике…

Итак, мысль, настоящая мысль именно как особое движение себя – в себе самой и далее все иные уже отмеченные аспекты рефлексивного движения, осуществляется автоматически, а точнее – естественно и в соответствии с природой самой живой человеческой мыслеформы [25] которая научилась порождать саму себя и тем самым отныне способна стать и быть живой.

Именно отныне мысль – это живая мысль, самодействующая мысль в которой движение мысли неотличимо от движения мышления и оба движения едины как сознание осознающее себя.

Сознание – в общем конечно, ибо сознанием обладают не только люди, но и животные.

Но рефлексия сознания раскрывает конечное и выводит его за границы самого себя и делает тем и таким кем и каким оно есть в своей действительности – бесконечной и всеобщей рефлексией осознания.

Всеобщее (т.е. «Всеобщее Сознание») как развивающаяся Единая-Живая-Совокупность всех форм воплощенных сознаний начало осознавать себя или иными словами, стало научно отражать отражение своего понимания целым рядом своих выразителей-мыслителей известных ныне человечеству как блестящая плеяда известнейших и гениальных ученых  финала восемнадцатого, всего девятнадцатого и начала двадцатого столетия.

Ведущая особенность описываемого этапа – его рефлексивность.

Сознание – Всеобщее – осознаёт, осознаёт себя и осознаёт себя сознающим – т.е. является таким, что достигло качественно нового уровня способности мыслить само себя в самых различных сферах своей активности.

Для нас же интересными и важнейшими являются сферы философии, математики (в некоторой мере физики) и социологии, как областей требующих наибольшей меры абстрагирования как формы построения живой развивающейся [26] фрактальной структуры осознания предмета сознания.

Философия Ф.Гегеля является наиболее чистой философской формой рефлексивного инварианта Всеобщего Движения Сознания за указанный период.

Выделяя важнейшее отличие этой философии от всех иных можно сказать, что это первая истинная философия, это рождение Науки Абсолютного Основания.

Именно к указанного рода основанию, хотя и дольно противоречиво, двигалась и математика рассматриваемого нами периода.

Итак, абстрактно-математической формой того же Движения Всеобщего именно как движения становления Абсолютного Основания являются:

-  теория бесконечно малых и понятия дифференциала, интеграла и производной;

-  теория математического предела;

- теория бесконечных множеств Г.Кантора;

- теория комплексных чисел;

- неевклидова и проективная геометрия.

 Наша задача в данной Главе наглядно это, окантовав [27] , таким образом, и этим окончательно утвердив законность и необходимость философии Ф.Гегеля как особой рефлексивной формы именно научного мышления.

Именно истинное научное мышление как мышление абсолютного основания должно и призвано изменить мир людей, а вера, чудеса и религиозность как и мифы о «втором пришествии» были необходимы для предыдущей фазы развития человечества [28] .

Гегелевская философская система является той единой и единственной Интеллектуально-Духовной Почвой, в которой взрастут Зерна грядущего Одухотворенного Единого Мира, напряженно ожидающего воистину исторического момента вырваться из оков грубой материальности и открыть пред собой Беспредельность Духовных Небес.

Этот Мир, Мир в котором будет господствовать Дух Всеобщего и Цвести и Плодоносить Истинное Единство Всех в Истине вызревал на протяжении более чем двух столетий, и первая [29]   попытка его воплощения в мире и её судьба всем нам хорошо известна.

Но Всеобщее – Существует. Всеобщее – Мыслит. Всеобщее – Действует.

В соответствии со Своей Волей.

Воля Всеобщего выступает и проявляется перед Своим-Иным – сознаниями своего особенного и единичного как Закон.

Большинство, а точнее абсолютное большинство не в состоянии ни постичь эту Волю, ни даже само Её существование, как не в состоянии увидеть в хаосе сменяющих друг друга форм неуклонность поступательного действия Закона и Воли.

В действительности, то есть под поверхностью форм явлений, сменяющих друг друга в непонятной игре – в необходимом основании себя, в общем и всеобщем движении, моменты и проекции которого они составляют, эта Воля и Закон не просто просты и незамысловаты, но скорее даже до неприкрытого неприличия просты и являются уже знакомым нам Вечным Становлением, Законом Единства, законом перехода противоположностей друг в друга.     

Итак, Всеобщая Воля выглядит на нашем плане в лучшем случае немыслимо распыленной и лишь иногда концентрируется – выявляясь [30] – в воле тех немногих, кто оказывался, как принято говорить «волей судеб», а в действительности просто Волей Всеобщего во главе миллионов, движение которых становится движением Истории. Но даже те, кто становится во главе таких течений, как правило, не в состоянии постичь творимого собой и не понимает, почему происходит то, что происходит.

К слову, трудно сказать в каком смысле эту волю можно назвать «Божьей Волей», ибо указанный термин глубоко и, пожалуй, непоправимо формален гнилостью тупоумия религиозной догматики, которая отрывает т.н. «Бога» от т.н. «человека», совершенно не понимая порождающей связи и глубинного единства обоих, и этим действием совершающего, пожалуй, смертный грех всех смертных грехов.

Человек – не может быть без Бога.

Но и Бог не может быть без человека. Одно предполагает другое и существует в другом и переходит, движется к нему по спирали, спускаясь к неведомому и существующему лишь в Мифах центру-фокусу, в котором Бог неотличим от человека, а человек – от оживляющей его Всеобщей Воли.

Итак, Всеобщее («Бог») Мыслит, и эти Мысли, а точнее, разумеется, их формы и есть суть события материального, наблюдаемого и отчасти понимаемого человеком мира.

И трудно это отрицать в принципе, ибо Всеобщая Мысль так или иначе практически явлена своими многочисленными, почти неисчислимыми человеческими проекциями мысли, каждая из которых несет на себе свой удивительный и неповторимый отпечаток, свою печать подлинности, и наверное несёт в себе и Истину, хотя несёт её в уникальной форме и является истиной как правило где-то почти невыявляемо глубоко в себе.

Крайне редко лишь в переломный моменты Истории Всеобщее явлено открыто, явно, недвусмысленно и осмысленно в самой человеческой форме и так Всеобщая мысль соединяется со своим-иным, со своим единичным-человеческим – с какой-то конкретной личностью и мыслится этой личностью одновременно, параллельно-синхронно с Всеобщим, ибо и опирается и исходит из основы основ.

Рассматриваемый перелом в сознании человечества начал осуществляться на рубеже веков – 18-го и 19-го.

Можно утверждать, что вот уже более двух столетий впервые человечество как целое учится мыслить и учится понимать помысленное собой.

Именно это и является предметом  нашего рассмотрения в Пятой Главе в отношении самой абстрактной и потому очень близкой к Всеобщему Формы.

Кроме того необходимо учесть, что Пятая Глава завершает Первую Часть Книги, в которой мы совместными усилиями учились мыслить и понимать, учились мыслить мышление понимания и понимать и видеть мысли – свои и мысли других людей.

Завершение любого рода требует известного подведения итога. Ведь путь проделан немалый. И потому мы для продолжения пути оглянем то, что пройдено и подумаем над пройденным, и попробуем увидеть подуманное, ведь именно в этом цель наша.

По сути дела вся Первая Часть Книги является весьма многословным и очень подробным пояснением, разъяснением и выяснением того, что означает загадочные слова мантры гегелевского философского заклинания способного расколоть… нет, скорее – превратить в пыль одну на всех скалу тотальности непонимания всеми – всех, в которую вмурована истинная, потому что Единая Человеческая Свобода: «противоположности переходят друг в друга через самих себя, через то, что они есть».

Эти слова наиболее простая и доступная пониманию формула выражения Всеобщего Закона, воистину всеобще-божественной юрисдикции которого подчинено всё и вся [31] .

Многословность разумеется не случайна и она лишь выражение опыта, который говорит о главной проблеме, неизменно стоящей в рост перед познающим субъектом: человек не понимает ни других, ни себя самого, но это ещё часть беды.

Другая и много большая часть – и это воистину беда – он не хочет понимать ни себя, ни других, ибо потрясающе слабоумен и туп в своём самомнении «венца творения».

Иначе говоря, человек, как правило, настолько ограничен, что его «понимание» чего-либо – может быть в равной мере названо «непониманием» и отношение между обоими понятиями настолько неопределенно, что даже интеллектуальную ограниченность невозможно как-то определить в границах определенных форм-понятий. И если постараться как-то совершенно по-простому выразить суть всей ситуации, то она видимо, в следующем образе, образе обреченного возгласа врача-психиатра: «Какой к черту диагноз, просто – дурак!» [32] .

Вот такая простая непростая ситуация.

Ведь именно указанная простота (непростота) вызывает непростоту (простоту) в оперировании формами и соответственно их понятийном разумении: «как же я могу сказать, что понимаю что-либо, если я даже не понимаю, что означает «понимать»?

И в таких случаях, видимо, лишь русское сознание – сознание образное и склонное чувствовать  сердцем истину и справедливость – способно разрубить гордиев узел злокачественного движения в порочно-формальном кругу, в котором непонимание неотличимо от своей противоположности.

Но пока что проблема и в том, что на любой вопрос и любое суждение, подразумевающее внутри себя вопрос: «Вы, – понимаете?», ответом скорее всего будет эдакий бессмысленный смех, которые можно услышать за кадром ситуационных комедий и в кадре неисчислимых дебильных шоу, превращающих участников в соучастников повсеместного творимого людьми тотального беззакония, ибо у человечности в мире, видит Бог, несколько иная функция и предназначение.

Что в таком случае говорить о таких нерейтинговых ныне понятиях как «Истина», «Всеобщее», «Абсолют», которые в прямом смысле содержат – выражая собой – через себя – в себе бесконечно глубокое вложение неисчислимого числа взаимодействующих понятий [33] .

Но человек, если даже и пытается понять что-либо, но совершенно не понимает того, что если основание не является всеобщим, то даже попытка договорится о начале, имеющем смысл некоего «начала» [34] , имеющего разумное продолжение, – в смысле тех или иных понятий, которые используются в качестве аргументов никакого смысла не имеет.

Иногда неглупые люди даже говорит о подобном – о необходимости предварительно договориться, о чём далее будет говорено, чтобы под одинаковыми вербальными формами одного дискуссанта [35] было скрыто хотя бы примерно то же, что скрыто у другого, чтобы соблюдались элементарные правила и логика взаимодействия.

Но даже эти неглупые люди всё же, как правило, не понимают, что же они говорят, когда говорят о подобном.

Речь, разумеется, идёт о хорошо известном, о необходимом едином основании относительно которого должны быть определены все используемые понятия.

В этом смысле показательны и хороши математические и вообще так называемые «научные дискуссии», когда предметная область является хорошо формализованной, т.е. оформленной стройной системой форм, каждая из которых занимает подобающее ей классическое место потому, что не занимает другого.

Но даже и для такого рода форм поиска истины порой случается не совсем обоснованный выбор основания:

«С именем Даламбера связан один забавный случай. Рассказывают, что, обучая математике очень тупого и очень знатного ученика и не добившись  понимания доказательства, Даламбер в отчаянии воскликнул: “Ну, честное  слово, сударь, эта теорема верна!” На что ученик отвечал: “Сударь, почему вы сразу так мне не сказали? Вы – дворянин, и я – дворянин; Вашего слова для меня вполне достаточно” [36] .

Здесь перед нами представлена в общем виде модель «проблемы понимания», если  и не в полный рост, то хотя бы в согбенно-полувертикальном положении: от человека ныне требуется мыслить и понимать творимое собой и другими, а не просто соглашаться или не соглашаться, исходя из каких-то иных и кажущихся обоснованными причин.

Иными словами, в явленных ныне и очевидных для всякого мыслящего человеческого существа Скрижалях Всеобщей Воли Сказано:

«Предрассудочность и тупость более не имеют и не могут иметь никакого оправдания, пришло время сдавать экзамен на разумность и право называться человеком и быть им.

Переэкзаменовок не будет, не сдавшие будут отчислены и исключены навечно из списков тех, кто имеет право быть, т.е. воплощаться в человеческой форме».

Логика воплощений и перевоплощений в нерушимой законной связи с тем, что человеком совершается в жизни издревле известна человечеству, и это обычная трансформальная логика, в которой противоположности «жизни» и «смерти» в причудливом танце-кружении переходят друг в друга через самих себя.

Единство же обоих – третье из двух возможных – называется «нирваной».

Это не жизнь, и не смерть и не некое «уничтожение», нирвана – то, что выше обоих противоположностей, это диалектическое снятие жизни – смертью, а смерти – жизнью, раскрывающее перед достигшим совершенно неведомые и непредставимые перспективы. 

Возвратимся однако же к философии математики, и дабы не оставить дело так, чтобы имя Вейля не было упомянуто всуе, продолжим строго о том, что сам Вейль говорил по темопредмету нашего внимания [37] :

«Вряд ли кто-нибудь из нас сочтет удовлетворительным такой способ передачи математической истины, при котором она предстает в виде сложной цепочки формальных умозаключений и вычислений, когда мы вынуждены, так сказать, вслепую, наощупь переходить от одного звена к другому. Мы хотели бы заранее видеть конечную цель и ведущий к ней путь, хотели бы понять внутреннее основание, определяющее ход мыслей, идею доказательства, более глубокие взаимосвязи. С современным математическим доказательством дело обстоит так же, как с современной машиной или экспериментальной физической схемой: простые основные принципы лежат глубоко и едва различимы под оболочкой технических деталей. Феликс Клейн, рассматривая в своих «Лекциях о развитии математики в XIX столетии» творчество Римана, говорит: «Неопровержимые доказательства всех утверждений, несомненно, являются краеугольным камнем любой математической теории. Разумеется, математика сама судит, в каких случаях стоит поступиться строгостью доказательств. Извечный секрет необычайной продуктивности гения — в его умении находить новые постановки задач, интуитивно предугадывать теоремы, приводящие к новым значительным результатам и к установлению важных зависимостей. Не будь новых концепций, новых целей, математика с присущей ей строгостью логических выводов вскоре исчерпала бы себя и пришла в упадок, ибо весь материал оказался бы израсходованным. В этом смысле можно сказать, что математику движут вперед в основном те, кто отмечен даром интуиции, а не строгого доказательства». В методике самого Клейна главным было именно это интуитивное постижение тех внутренних взаимосвязей и отношений, основания которых различны, но там, где требовалось напрячь всю мощь изощрений логики, он в известной мере был вынужден отступать. В речи, посвященной памяти Лежёна Дирихле, Минковский противопоставил принципу минимума, который в немецкой литературе принято связывать с именем Дирихле, но который на самом деле был всесторонне разработан Уильямом Томсоном, другой, подлинный принцип Дирихле: одолевать проблему при минимуме слепых вычислений и максимуме наглядных идей; с этого принципа, говорит Минковский, началось новое время в истории математики.

Но в чем же секрет такого понимания математических фактов, в чем он состоит? В философии науки ныне вновь предпринимаются попытки противопоставить понимание,  герменевтику как основу наук о духе, естественно-научному объяснению,  и вокруг слов «интуиция», «понимание» возникает некий мистический ореол как свидетельство их особенной глубины и непосредственности. В математике мы предпочитаем несколько более трезво смотреть на вещи. Я не могу пускаться здесь — да это, мне кажется, было бы очень трудно сделать - в подробный анализ тех мыслительных актов, о которых пойдет речь. Но одну решающую, хотя саму по себе и не достаточную, характеристику процесса понимания я хотел бы подчеркнуть: различные стороны предмета математического исследования мы подвергаем естественному разделению, каждую сторону в отдельности осваиваем, исходя из особого, сравнительно узкого и легко обозримого набора предположений и затем возвращаемся к целому, подходящим образом объединяя частные результаты в сложное единство. Последняя, синтетическая, часть процедуры носит чисто механический характер. Все мастерство заключено в первой, аналитической части - разделении и обобщении. На протяжении последних десятилетий математика прямо-таки упивалась всякого рода обобщениями и формализациями. Однако считать, будто она стремится к общему ради общего, значит неверно понимать заключенную здесь здоровую тенденцию. Дело обстоит иначе: любое естественное обобщение упрощает,  сокращая допущения, и тем самым позволяет понять определенные стороны некоторого необозримого целого. Разумеется, вполне может случиться, что обобщения в различных направлениях принесут понимание конкретного положения вещей в различных аспектах. В этом случае разговор об истинной  основе, истинном  источнике этого положения вещей отягчен субъективным и догматическим произволом [38] ».

Выдающиеся мыслители (в данном случае математик и это очень ценно) даже заблуждаясь, совершенно точно обозначают критические точки роста дальнейшего и развития некоторой научной дисциплины:

«…различные стороны предмета математического исследования мы подвергаем естественному разделению, каждую сторону в отдельности осваиваем, исходя из особого, сравнительно узкого и легко обозримого набора предположений и затем возвращаемся к целому, подходящим образом объединяя частные результаты в сложное единство. Последняя, синтетическая, часть процедуры носит чисто механический характер. Все мастерство заключено в первой, аналитической части - разделении и обобщении».

Даже отмечая и учитывая некоторые особенности восприятия того, что такое «синтез» и «обобщение» (как следует, например, из контекста продолжения цитаты) можно говорить о том, что понимание довлеющего положения анализа [39] у Вейля как, впрочем, и у любого иного в определенной мере формально мыслящего исследователя, отражает непонимание понятия общего в математике. Когда Вейль говорит об «общем», то можно видеть прежде всего его формализм, абстрактность и оторванность от того, что действительно может быть общим, а главное – должно им быть как основанием:

«Мы хотели бы заранее видеть конечную цель и ведущий к ней путь, хотели бы понять внутреннее основание, определяющее ход мыслей, идею доказательства, более глубокие взаимосвязи».

Если рискнуть (и суметь!) обозреть сферу математического знания целиком, то сразу бросается в глаза, что математика исторически как бы лишена своего истинного, т.е. выявленного единого основания являя собой разрастающуюся совокупность разнообразнейших форм, взаимодействующих между собой. И Вейль, когда он говорит, и как показано  далее, говорит с горечью об избранном математиками пути «обобщения» [40] , то имеет ввиду ту или иную комбинацию таких форм, которая становится «основанием» или, по крайней мере, выдается за него произволом творца такой формы.

Но самым, пожалуй, поразительным является то, что наиболее выдающиеся математические достижения, становясь ведущими на многие десятилетия, по сути дела не осознавались именно как такие, которые выявили в соответствующей мере свои математические основания.

Речь к слову о тех же упомянутых Вейлем – Ф.Клейне, Римане,  Минковском и их достижениях.

Основание – то единое, неименное, на что опирается и благодаря чему существует всё иное, все формы, в данном случае математические.

Именно с основанием неразрывно связано любое понимание, ибо понимание есть осмысление основания, т.е. основание (всеобщее), которое стало для самого себя пространством движения мысли и является истинным пониманием.

«Конструктивный опыт перестает подкреплять принципы аристотелевской логики, когда эти принципы применяются к экзистенциальным или общим суждениям, относящимся к бесконечным областям, таким, как последовательность целых чисел или континуум точек. Если же мы примем во внимание логику бесконечного, то нам вряд ли удастся адекватно аксиоматизировать даже самые примитивные процессы, например, переход n₁ -> n₂, т. е. от целого числа n к следующему числу n'. Как показал К. Гёдель, всегда найдутся конструктивно очевидные арифметические суждения, не выводимые из аксиом, как бы вы их ни формулировали, и в то же время аксиомы, безраздельно правящие всеми тонкостями конструктивной бесконечности, выходят далеко за пределы того, что может быть подтверждено опытом. Нас не удивляет, что фрагмент природы, взятый в своем феноменальном изолированном бытии, бросает вызов нашему анализу с его незавершенностью и неполнотой. [41] »

Что такое аксиомы по сути своей и своему назначению?

Некоторые базовые основные формы, относительно которых и которыми производится конструирование и построение иных форм.

Аксиоматика это форма осуществления формального определения,  а точнее квазиопределение на фундаменте, так называемых, неопределимых понятий. Неопределимое понятие – это наиболее общее, самое общее понятие, на котором осуществляется и из которого выводятся все иные. Для математики, например, это: «точка», «прямая», «множество» и т.д:

«… обнаруживаем, что определить все математические понятия невозможно. Одно определяется через другое, другое через третье и т. д.; где-то мы должны остановиться. («Портной учился у другого, другой у третьего, да первый-то портной у кого же учился?» — справедливо замечает г-жа Простакова.) Рассказывают, что известный одесский математик С. И. Шатуновский, приводя определение все новых и новых понятий, в ответ на повторные вопросы «А что такое то-то и то-то» наконец не выдерживал и сам спрашивал: «А что такое «что такое?»»

Давайте задумаемся об устройстве толкового словаря какого-либо языка — русского, английского и т. д. [42] В нем одни слова определяются через другие, другие через третьи и т. п. Но поскольку слов в языке конечное число, то неизбежно возникает круг (т. е. ситуация, в которой слово определяется в конечном счете через само себя). Избежать такого круга можно лишь одним способом: оставить некоторые слова без объяснений. В некоторых словарях так и делают. Так же, разумеется, обстоит дело и с понятиями математики. А именно, если только не допускать порочного круга, некоторые понятия должны остаться без определения. Спрашивается, как же могут быть усвоены эти понятия. Ответ: из непосредственного наблюдения, из опыта, из интуиции. Нет нужды напоминать, что формирование общих, абстрактных понятий в мозгу человека — сложный процесс, принадлежащий более психологии, нежели логике. Эти понятия, усваиваемые не из словесного определения, а из непосредственного личного опыта, естественно называть первичными понятиями, или категориями, математики. К числу таких категорий относятся, например, понятия точки, прямой, множества, натурального числа и т. д.

При составлении перечня (вряд ли могущего быть вполне отчетливым) категорий (первичных понятий) математики следует соблюдать известную осторожность. Иначе число первичных понятий будет неоправданно велико в нарушение принципа «бритвы Оккама» [43] .

Аксиоматика вообще невидимо и незаметно пронизывает всю практику человеческой активности, с самих её основополагающих познавательных основ.

Это – (указывается ложка) – «ложка».

Это… (оператор отношения) «ручка».

Это – (оператор) – стул.

Это – «стол»…

Такого рода аксиомы истинны прежде всего потому, что прежде всего практичны.

Базовый познавательный формализм, который находит себя в завершенной форме в формальной логике: «А это А», то есть «некоторая форма «А» должна рассматриваться тождественной самой себе» утверждается всей массой отношений формы «А» со всеми иными формами.

Но это же отношение утверждает и прямо противоположное и важнейшее, и являющееся сущностью познания, без которого самого познания не было бы: все различные формы в той или иной мере едины, то есть наряду с познавательной аксиомой «А» есть «А», а вообще говоря именно благодаря ей, действует и прямо противоположная – ««А» не есть «А»» или ««А» всегда есть нечто иное, чем оно есть» приходя наконец к пределу в котором – в границах рассматриваемой меры всеобщности – едино всё: «А есть не-А».

Иными словами, некоторое А, некоторая форма не была бы собой, если бы не была в сущности себя всем иным.

Ложка это, несомненно, просто «ложка», но вместе с тем это и «столовый прибор», и некоторый «культурный артефакт», и «обрабатываемая станком деталь», и продаваемый (покупаемый) «товар», и «подарок», и «археологическая находка», и  абстрактный «предмет», и прочее иное неисчислимое, бесконечное число иных форм и отношений, в которые вступает, и не может не вступить понятие ложка. И именно эти отношения, в которых качество собственно «ложечности» уже почти утеряно и исчезающее, бесконечно  мало всё ещё так же определяет понятие ложка, как и простейший и понятнейший познавательный оператор, благодаря которому ребенок учится познавать мир: «это - ложка».

Познание это последовательное раскрытие содержания формы и обнаружение под формой некоторого понятия всего иного мира отношений и форм, которые скрыты в глубине формы.

Точка это, как всем известно, … точка.

Но точка это, например, и «окружность бесконечно малого радиуса», и «область пересечения секущей плоскости и вершины конуса» [44] . И в качестве своей формы-инварианта математическое понятие «точка» – раскрываясь и определяясь «оператором сечения» становится: параболой, гиперболой, окружностью… Если же сечение проходит через вершину и параллельно оси конуса точка превращается в угол.

Представление и понятие. Условием понимания фундаментальной универсальности понятия предела является понимание сущностного отношение этих противоположных друг другу форм познания.

В этой связи интересен следующий вопрос: в каком случае, когда перестает действовать формальная логика?

Формальная логика и в частности закон исключения третьего так сказать «перестают действовать» и переходят в логику аформальную лишь в том случае, если существует третье, которое объединяет различающееся (противоположное) собой, сливая их в целое.

Очевидно, что логика появления «третьего», объединяющего как две противоположные формы, и в общем случае бесконечное число просто различающихся альтернатив – это логика бесконечного.

Например,

- «Сапоги», «лапти», «мокасины», «кеды», «кроссовки»…., - «обувь»;

- «Красный», «зеленый», «фиолетовый», «голубой», …., - «цвет».

- «Автомобиль», «газонокосилка», «лифт», «самолет», «пулемет», …., - «машина».

Формула реализации: «Единичные есть особенное».

Особенное в таком случае является охваченным бесконечным пределом или замкнутым (предельно нелинейным) пространством бесконечного числа единичностей, которые и образуют данное пространство и определяют его понятийную (качественную) метрику.

Качество в таком случае выступает как характеристика пространства, то есть пространственная метрика или мера формы определенности бесконечной количественности некоторого рода.

Суть рассматриваемой нами сейчас проблематики, несмотря на свою простоту и то, что мы уже касались этой темы, вовсе не тривиальна.

Рассмотрим предмет определения, как особую форму достигнутого и включенного в ряд, т.е. охваченного предела подробнее.

Кажущаяся элементарность и привычность известного ещё из школьной программы базового понятия  математического анализа – понятия предела является результатом рассудочно-формализующего или, иначе говоря, аналитического разумения.

На деле же, «математический анализ» –  оказался очень точным наименование научной дисциплины, выходящей далеко за пределы математики как таковой, призванной познавать законы отношений абстрактных математических форм. И такая дисциплина появилась именно тогда, когда должна была появиться.

«Значение теории пределов для логики

1. Здесь перед нами также, по-нашему, огромный дар логике от математического анализа. Мы покамест оставим в стороне категорию производной в целом, ибо в дальнейшем ей посвящается у нас отдельный параграф. Но о категории предела, входящей в производную, необходимо сказать подробнее уже сейчас. Эта категория, как мы видим, привлечена у нас не больше и не меньше как для изображения логического отношения между мышлением и чувственностью.

Невозможно себе и представить все ухищрения ученых в вопросе о взаимоотношении мышления и чувственного представления. Можно сказать, вся история философии, особенно Нового времени, есть история разных теорий о взаимоотношении мышления и представления или, в дальнейшем, мышления и ощущения. И результат всех этих теорий довольно-таки плачевный. Это — априоризм и сенсуализм с бесконечными оттенками между ними. И это почти всегда подмена логической точки зрения разными натуралистическими исканиями, что из чего и как произошло. Но что бы и как бы из чего ни происходило, логическая значимость этим не определяется. […] Пусть общее понятие «происходит» из чувственного опыта. Ну и что же из этого? Прежде всего, такое решение логической проблемы общего понятия не имеет никакой возможности ответить на критику Канта о том, что всякое отдельное чувственное восприятие пространственно-временной вещи уже предполагает априорные формы пространства и времени. А во-вторых, какое же это имеет отношение к логической природе мышления? А если известная теорема приснилась мне во сне в готовом виде, значит ли это, что данная теорема неверна?

Вместо всех этих жалких ignorationes elenchi [45] математический анализ дает нам точную и сильную, яркую картину именно логического отношения между понятием и представлением. Спросим себя, какой смысл имеет в науке чувственное представление? Не само же по себе, в самом деле, оно имеет тут значение. Ведь наука — это установление законов, нахождение общих соотношений, т.е. то самое, на что совершенно не способно чувственное представление. Хороша была бы физика, если бы она не шла дальше тех скоростей, которые можно уловить глазом! Не только о скорости света мы никогда не узнали бы и не могли бы о ней учить как о чем-то реальном; но мы вообще о скоростях больших <...> м [етра] в секунду не могли бы иметь никакого представления или должны были бы отрицать их реальность. Но если не само по себе имеет значение для логики чувственное представление, то какое же еще? Уже не такое ли, о котором говорят т.н. эмпирики, что отдельные чувственные представления сливаются в одно общее представление, т. е. такое значение, которое сводится к тому, что они бесследно гибнут и расплываются в мышлении? Однако тут мы, конечно, должны защитить чувственное представление от такого его оправдания. Чувственное представление вовсе не гибнет; оно нужно для науки, оно—орудие науки; без него нет и самой науки. Но в чем же тогда дело? В чем же тогда значимость, и именно логическая значимость, представления в сравнении с понятием?

2. Я не знаю более совершенного способа и сохранить для науки чувственное представление, и в то же время ограничить его в сравнении с научным понятием (так ограничить, как оно фактически ограничено в своем научном употреблении), кроме толкования понятия как предела и представления как переменной величины, стремящейся к пределу. Что чувственное представление с такой точки зрения является чем-то ограниченным, это ясно. Но вместо неясного термина «ограниченность» мы получаем тут яснейшую категорию из теории пределов, именно категорию переменной величины, стремящейся к пределу. Такая величина всегда приблизительна. Она никогда не достигает своего предела, но зато и может приближаться к нему с любой точностью. Таким образом, по самой природе своей она есть нечто становящееся. Переменная величина имеет предел, говорят математики, если разница между ней и ее пределом может стать меньше любой заданной величины, т.е. вечно стремится к нулю. Что этим чувственное представление буквально спасается для науки, это совершенно ясно. Вместо расплывчатого пятна неизвестно чего, вместо абсолютной текучести дряблого чувственного марева представление получает определенную закономерность, оно получает научный смысл, его уже нельзя просто отбросить, оно — настоящий фундамент науки. Но в то же время все его логическое значение держится, по нашей теории, только его пределом, т. е. понятием, общим, которое им управляет, как в математике предел управляет соответствующей ему переменной величиной. В этом пределе нет ровно ничего таинственного или сверхъестественного. Это—самая обыкновенная конечная величина. Но он безусловно дает закон для соответствующей переменной величины, точь-в-точь [как] в реальной и истинной науке: мы имели массу всяких чувственных представлений, но весь их смысл заключается только в том, чтобы мы добыли из них закон природы или общества, получили бы то общее, которое их осмысляет и для которого они являются материальной базой.

3. Имея все это в виду, попробуем дать более точное логическое раскрытие понятия предела. Способов такого раскрытия несколько, и тут возможно употребление самых разнообразных категорий. Предлагаемая нами конструкция отнюдь не единственная и, вероятно, не наилучшая, так как вопрос этот почти не обсуждается в логике; и дружная разработка его, конечно, тотчас же обнаружила бы и другие, более совершенные подходы. Однако за отсутствием исследований этого вопроса в философии попробуем дать тут некоторое логическое построение с единственной претензией — только на первое приближение к истине.

Первое, что представляется нам тут очевидным, это то, что предел вовсе не есть ни только конечная, ни только бесконечная величина. Хотя всегда было и много охотников свести предел на конечное число на том основании, что он фактически может быть конечным числом, это есть, само собой разумеется, просто устранение самой проблемы. Когда мы имеем то или иное число натурального ряда, мы, конечно, вовсе не имеем никакого понятия предела и не нуждаемся в нем. Предел интересен вовсе не своей конечностью. Предел, какой бы величиной сам по себе он ни был, интересен тем именно, что он есть предел, граница—для чего? Для некоторого бесконечного непрерывного процесса. Если нет того, что стремится к пределу, нет и самого предела. Однако что такое это стремление? Оно не может быть рядом конечных и взаимно изолированных величин. Это было бы не стремлением, а мертвым покоем. Следовательно, здесь необходима именно непрерывность. И потому предел есть синтез конечного и бесконечного в абсолютно неделимом и непрерывном смысле: он есть и нечто устойчивое, определенное, конечное и в то же время требует некоего процесса, стремления, протекания, но—так, что в результате он есть некая совершенно неделимая цельность и единичность, без всяких разрывов и различий» [46] .

Фундаментальная математическая аксиоматика с её непререкаемым требованием непротиворечивости на деле не так уж далеко ушла от обыденности аксиоматики, той обыденности которой человек воспитывается и в конечном счете образуется дабы гордо носить звание разумного существа.

Предельный, то есть бесконечный переход с одновременным охватом бесконечного в качестве целого, подводит под аксиомы любого рода, под любую систему аксиом любого формы особый логический фундамент, который собственно и является истинным смыслом соответствующего понятия, причем само движение познания понятия, является самодвижением самообоснования понятия, а познание понятия становится, таким образом, познанием истины.

«1) Диалектика есть сфера чистого смысла. В этом она отлична как от всякой натуралистической метафизики, оперирующей гипостазированными абстрактными понятиями, так и от отдельных наук, основанных на эмпирическом изучении через чувственные восприятия множества фактов и индуктивном их обобщении. Диалектика не гипостазирует, не овеществляет абстрактные понятия (ибо в ней и нет ничего, кроме понятий), не изучает эмпирическое множество текучих фактов (ибо фиксирует их нетекучий смысл) и не делает никаких индуктивных обобщений (ибо в сфере смысла все одинаково обще).

2) Диалектика есть осмысленно-объяснительное конструирование смыслового взаимопорождения отдельных моментов цельной сферы разума, так что оказывается понятным, каково логическое происхождение и отдельных моментов смысла, и всей сферы смысла вообще. Этим диалектика отличается от феноменологии, основанной на описании изолированных форм смысла, связь и взаимопорождение которых мыслится тут только натуралистически и отводится в сферу т. н. мира естественной установки. Диалектика не описывает, но объясняет и выводит не только логическое, но и алогическое – из цельного единства смысла вообще.

3) Диалектика есть фиксирование в самопорождающейся стихии смысла завершенных и умно-оптических, визуально-смысловых оформлений, нерушимо пребывающих в непрерывно подвижной стихии смысла. Этим диалектика отличается от трансцендентализма типа Когена, основанного на интерпретации смысла как «чистой возможности», «закона», «принципа», «метода», «постановки проблемы», «гипотезиса». Диалектика не ограничивается только стихией становящегося (хотя бы и чисто смыслового) смысла, но признает последнее только в связи с порождением отсюда закругленных и визуально-данных уму оформлений.

4) Диалектика есть антиномико-синтетическое конструирование сферы смысла как самопорождающегося и самопреодолевающегося противоречия. Этим она отличается от т.н. формальной логики, основанной на законах тождества, противоречия и исключенного третьего. Диалектика есть конструирование смысла, который сам себя порождает, т. е. смысл этот есть и порождающее, и порождаемое, т. е. он и тождествен с собою, и отличен от себя, т. е. закон тождества дополняется тут законом различия в тождестве. И вообще, никакое определение невозможно без ограничения; ограничение же есть некоторое отрицание; отрицание же в сфере смысла есть отрицание осмысленного утверждения. Итак, отрицание и утверждение в сфере смысла как отличаются между собою, так и отождествляются. След., закон исключенного третьего дополняется законом неисключенного третьего. И т.д. Отдавши себе отчет в существе и задачах диалектики, попробуем теперь произвести первоначальные и необходимейшие диалектические построения, с тем чтобы показать, что учение о множествах есть не что иное, как именно эти первоначальные и необходимейшие построения в сфере чистого смысла» [47] .

Здесь следует ещё раз обратить внимание на просто великолепное и по форме и по содержанию и по их мере гармоничности (простоте) определение диалектики данное А.Ф.Лосевым:

«Диалектика есть антиномико-синтетическое конструирование сферы смысла как самопорождающегося и самопреодолевающегося противоречия. Этим она отличается от т.н. формальной логики, основанной на законах тождества, противоречия и исключенного третьего. Диалектика есть конструирование смысла, который сам себя порождает…»

И по сути дела простое понимание сущности всеобщего становления именно как  движения способно навести порядок в формальных умах, но уявление сущностной противоречивости мира никак не дается этим умам, которые боятся противоречивости, ибо полагают, что единственной логикой может быть исключительно формальная логика, как логика не-противоречия:.

«…диалектика есть противоположность формальной логике. Опять-таки, и то и другое относится и к чистой сфере смысла, и оперирует с чистыми понятиями, а не с вещами, и дает конструкции тех или других форм мысли и смысла. Но мы жестоко ошибемся, отождествивши эти два метода. Под формальной логикой мы понимаем учение о смысле, возникающее на почве т. н. законов мышления, т. е. закона тождества, противоречия и исключенного третьего. Закон тождества, гласящий, что А = А или, точнее, что А в одно и то же время и в одном и том же отношении тождественно А, т. е. самому себе, этот закон, оставаясь в диалектике в полной силе, добавляется, однако, законом, ему совершенно противоположным, а именно тем, что одно и то же А в одно и то же время и в одном и том же отношении различно с собою, нетождественно себе. А и есть А, и не есть А. Соответствующим образом модифицируются в диалектике и оба другие закона «формальной логики». Оказывается, сама же мысль, сам разум требует противоречия себе, самопротиворечия, и сама же мысль, сам разум требует преодоления этого противоречия в еще новом утверждении. Диалектика, которая не есть логика противоречия,— не есть диалектика, но — только формальная логика. И [есть] очень много авторов,  именующих себя диалектиками и в то же время совершенно не владеющих этим методом, растворяя необходимую тут антиномику в систему непротиворечивых, упорно не-тождественных между собою полаганий смысла. Противоречие, его преодоление и утверждение нового противоречия есть душа и жизнь диалектики. Поэтому от замороженных и оцепенелых конструкций формальной логики диалектика отличается именно антиномико-синтетической структурой смысла» [48] .

Противоречивости именно как формальной противоречивости действительно следует опасаться и следует избегать её, так как именно «непротиворечивость» есть базовое правило любой познавательной игры, но просто следует понимать наличие неформального и аформального смысла, который в самом себе несёт в качестве своего истинного содержания понятие «непротиворечивости», которое, очевидно, может быть собой, т.е. «лишенным противоречия» лишь тогда, когда это противоречие находится в основе, существует в качестве достаточного (необходимого) основания.

Казалось бы речь идёт о совершенно простом и очевидном, но насколько тяжело и неадекватно видится формальным умам такая очевидность (Вейль):

«Ее интересует не истинность аксиом, а лишь их непротиворечивость; в самом деле, противоречивость apriori лишала бы нас надежды когда-нибудь найти подходящую интерпретацию», утверждает даже человек, и не просто человек, а выдающийся математик, который декларирует и обнародует основу основ логики математики как науки: «Математика — это наука о бесконечном».

  Но именно противоречие, противоречие, рождаемое бесконечностью любого рода, уходящей в неясные внутренние континуальные глубины, или вырываясь во внешнюю бездну бесконечного, даёт истинную фундаментальную интерпретацию всего математического движения как целого: движение самопорождение бесконечного – конечным, а конечного – бесконечным, или в гегелевских терминах: «переход через самого себя в своё иное (противоположное)».

Это и есть единственная абсолютная аксиома, аксиома необходимого основания,  снимающая саму себя как аксиому, ибо сама себя обосновывает и выводится из самой себя, находится в фундаменте математики и всего математического знания, впрочем, как и любого иного знания вообще [49] .

Оператор преобразования – оператор перехода, являющийся самим движением перехода, совпадающим с ним и являющийся ничем иным как движением познания, движением познающего субъекта, самим субъектом.

Бесконечное становление бесконечности движения во времени…. Более ничего и никого нет.

Итак, в математике первой и по всей видимости важнейшей формой отражающей живую диалектику человеческого познания [50] явилось понятие предела.

Именно это понятие стало той общепринятой, но практически полностью формализованной формой, в котором наконец в головах ученых обосновывалось и в известном смысле завершилась весьма непростая и драматическая история осмысления понятия «бесконечного» преимущественно именно как бесконечно уменьшающейся величины, т.е. понятия «бесконечно малой величины».

«Насущная необходимость надлежащего обоснования математического анализа остро ощущалась в конце XVIII в. всем математическим миром, и по предложению Лагранжа отделение математики Берлинской академии наук, директором которой он состоял в 1766—1878 гг., назначила в 1784 г. приз (который должен был быть вручен в 1786 г.) за лучшее решение проблемы бесконечности в математике. Объявление об условиях конкурса гласило:

Своими предложениями, всеобщим уважением и почетным титулом образцовой «точной науки» математика обязана ясности своих принципов, строгости своих доказательств и точности своих теорем.

Для обеспечення непрестанного обновления столь ценных преимуществ этой изящной области знания необходима ясная и точная теория того, что называется в математике бесконечностью.

Хорошо известно, что современная геометрия [математика] систематически использует бесконечно большие и бесконечно малые величины. Однако геометры античности и длже древние аналитики всячески стремились избегать всего, что приближается к бесконечности, а некоторые знаменитые аналитики современности усматривают противоречивость в самом термине бесконечная величина.

Учитывая сказанное, Академия желает получить объяснение, каким образом столь многие правильные теоремы были выведены из противоречивого предположения, вместе с формулировкой точного, ясного, короче говоря, истинно математического принципа, который был бы пригоден для замены принципа бесконечного и в то же время не делал бы проводимые на его основе исследования чрезмерно сложными или длинными. Предмет должен быть рассмотрен во всей возможной общности и со всей возможной строгостью, ясностью и простотой.

К участию в конкурсе допускались все желающие, за исключением членов Академии, Всего на рассмотрение жюри поступило двадцать три работы. Официальное решение, опубликованное после окончания работы жюри, гласило:

Академия получила много работ на объявленную тему. Авторы всех работ не смогли объяснить, каким, образом из противоречивого предположения — о существовании бесконечно большой величины — удалось вывести так много правильных теорем. Все авторы в большей или в меньшей степени пренебрегли требованиями ясности, простоты, а главное — строгости. Большинство из авторов даже не осознали, что принцип, который им надлежало найти, должен был не ограничиваться дифференциальным исчислением, а распространяться также на алгебру и геометрию, рассматриваемые в духе древних.

Учитывая изложенное, Академия считает, что ее требования удовлетворены не полностью.

Тем не менее жюри нашло, что в наибольшей мере удовлетворил требованиям участник конкурса, представивший работу на французском языке под девизом «Бесконечность — пучина, в которой тонут наши мысли». Ему и присужден приз.

Победителем оказался швейцарский математик Симон Люилье. В том же 1876 г. Берлинская академия опубликовала его «Элементарное изложение высшего анализа». Несомненно, решение, принятое математическим отделением Академии, по существу было правильным. Ни в одной из других работ (за исключением работы, представленной Карно; см. гл. VII) даже не делалось попытки объяснить, каким образом в математическом анализе исходя из ложных посылок удается вывести так много правильных теорем. Люилье, несомненно, заслуживал награды, хотя основная идея его работы была далеко не оригинальна. По словам самого Люилье, его работа представляла «развитие идей... бегло намеченных Д'Аламбером и как бы изложенных в его статье «Дифференциал», опубликованной в «Энциклопедии», и в его сочинении «Разное». Во вводной главе своего сочинения Люилье излагает слегка усовершенствованный вариант теории пределов. Впервые в печатном тексте он ввел для обозначения предела символ lim. Производную dP/dx (ранее встречавшуюся как отношение k/h) Люилье обозначал lim ΔΡ/Δx, но вклад самого Люилье в теорию пределов был крайне незначительным.

Хотя почти каждый математик XVIII в. предпринимал попытку обосновать математический анализ или по крайней мере высказывал свое мнение по поводу столь важной проблемы, а два-три математика были на верном пути, все усилия оказались тщетными. Математики XVIII в. либо умышленно обходили все сколько-нибудь важные и тонкие проблемы, либо просто не замечали их. Различие между очень большим числом и бесконечно большой величиной они ощущали с трудом. Математикам XVIII в. казалось очевидным, что теорема, которая выполняется при любом конечном п, должна выполняться и при бесконечном п. Разностное отношение k/h [см. выражение (3)] они охотно заменяли производной, а сумму членов вида (7) с трудом отличали от интеграла. Переход от конечного к бесконечному как в одну, так и в другую сторону совершался ими необыкновенно легко и просто. Суть математики XVIII в., пожалуй, наиболее точно выразил Вольтер, охарактеризовавший [математический] анализ как «искусство считать и точно измерять то, существование чего непостижимо для разума». Предпринимавшиеся на протяжении века попытки строгого обоснования анализа, в особенности попытки, предпринятые такими гигантами науки, как Эйлер и Лагранж, лишь окончательно запутали и завели в тупик как их современников, так и математиков последующих поколений. В целом подобные попытки оказались безнадежно ошибочными — от них можно было бы прийти в отчаяние и усомниться в том, что математикам вообще когда-нибудь удастся разрешить проблему обоснования анализа» [51] .

Мы – конечно же, зная то, что мы уже знаем, можем утверждать, что т.н. «проблема обоснования анализа» это простое выявление в анализе – синтеза как его необходимого и достаточного основания. Так же нам уже известно, что аналитическое действие, подчеркнём, – любое аналитическое действие – как действие различающее и расчленяющее, как действие формального дробления-обособления объекта внимания может перейти в своё противоположное единственным способом.

Этот способ – переход через пропасть, через бесконечное, через бездну бесконечности.

Соотношение аналитичности, рефлексия аналитичности как некоторого качества с самим собой взятое как целое и всеобщее, рождает иное и противоположное качество – качество синтетичности действия.

В основе обоснования математического анализа в форме «предела» находится совершенно особое аналитическое действие.

Его особость именно в том, что это действие движения мысли, которая одновременно выявляя бездну бесконечного в том, что формальному уму кажется «непоправимо конечным», этим же выявлением – отрицает-преодолевает её, достигает и охватывает бесконечность именно как предел беспредельного, являющийся необходимым диалектическим основанием любой конечной математической формы.

Уже сама простая линейная натуральная числовая последовательность – если видеть её не только лишь как застывшую форму – но как движение изменения, самодвижение, импульс одновременности утверждения-отрицания некоторым числом любого иного натурального числа….

Возьмём «5»…

«Число «пять» может быть и конечным числом натурального ряда, и дифференциалом, и интегралом, и производной в зависимости от практики мышления. Само по себе «пять» ровно ничего не значит, или, если выражаться точно, оно ровно ничего не значит познавательно для числа. Всякий смысл есть всегда смысл чего-нибудь, что уже не есть просто самый смысл, но дается самостоятельно, практически» [52] .

Мы понимаем, что берём числа (в данном конкретном случае натуральные) не формально-арифметически и даже не аформально, а трансформально [53] . Но осуществляя осознанный переход от формального и аформального к трансформальному, мы тем самым  выходим в особое пространство мысли, в нашем случае математическое пространство, в котором и обнаруживаем весь комплекс категорий охватываемый математическим трансформальным:

«Теперь мы отбрасываем в сторону как арифметическое, так  и трансфинитное построение числа и сосредоточиваемся   исключительно на инфинитезимальном. Что мы тут должны предпринять,  чтобы получить конкретные результаты? Конкретность требует  ясных разграничений и четких переходов между разграниченными  элементами. Число, как первейшее такое разграничение, является,  согласно предыдущему, как раз таким переходом от одного к   другому. Ясно, что и в инфинитезимальной области первичное   различение должно быть именно таково: одно (бытие, «нечто», «это»,  акт полагания, изолированное и простое утверждение), становление  (переход) и ставшее (исчерпавшее себя и первичное одно и потому  остановившееся, завершившееся одно). Здесь также только   практика может решить, когда и где применить ту или другую категорию  и каково различие возникающих здесь инфинитезимальных чисел. 

Именно соответственно этим трем категориям мы получаем  здесь три основных инфинитезимальных понятия: бесконечно-малое,  непрерывность и предел. Тут, разумеется, может идти долгий спор  по части терминологии. Однако, по-видимому, не должно вызывать  сомнения, что если мы берем становление с точки зрения «бытия»,  т. е. с точки зрения «нечто», «этого», то тут мы должны получить  «становящееся нечто», «становящееся это», некое бытие или что бы  то ни было именно в процессе непрерывного становления. Но что  же это тогда такое, если не бесконечно-малое, которое как раз  и определяется как то, что «может стать» меньше любой заданной  величины? Нам кажется, что также ясна и непрерывность, которая  есть становление как именно становление, т. е. положенное,   утвержденное становление, и предел, который определяется именно  как то, к чему вечно стремится переменная величина, и в котором  стремление, следовательно, взято именно с точки зрения ставшего. 

Мы опять-таки настаиваем на том, что теоретически совершенно не существует никакой разницы между бесконечно-малым, непрерывностью и пределом, ибо теоретический и смысловой состав  этих категорий совершенно один и тот же. И только практика  может решить вопрос, на что тут можно и нужно обратить   внимание, какую категорию акцентировать, подчеркивать, класть в   основу и какую отодвигать, брать только в виде фона, допускать  только как материал для осмысления другими категориями.   Словом, эти категории тоже изомерны.

Говорится: бесконечно-малое есть то, что может стать меньше  любой заданной величины, или что имеет своим пределом нуль.  А что такое предел? Предел для переменной величины есть то,  разница между чем и переменной величиной может стать меньше  любой величины, или, что то же, стремится к нулю. А что такое  непрерывность, напр. непрерывная функция? Функция непрерывна  в данной точке тогда, когда бесконечно мало ее приращение в   случае бесконечной малости приращения ее аргумента. Вот три   определения. По своему категориальному составу это совершенно одно и то же определение: везде тут 1) то, что стремится к пределу, 2) предел, к которому происходит стремление, и 3) самое стремление. В первой категории на первом плане то, что стремится, но тут  же указано и на самое стремление, и на предел этого стремления. Во  второй категории подчеркнуто то, куда стремление, но тут же  сказано и о том, что именно стремится, и о самом стремлении.  И наконец, в третьей категории подчеркнуто самое стремление (или, точнее, соотношение двух стремлений, поскольку определялась непрерывная функция), но тут же сказано и о бесконечно-малом, т. е. о нулевом пределе, не говоря уже о том, что стремится  тут именно аргумент и функция, т. е. нечто. Следовательно,   основное и существенное содержание понятий бесконечно-малого, непрерывности и предела—одно и то же. Не то, что эти понятия только  предполагают одно другое, но они просто тождественны по содержанию, и разница тут только в порядке и форме комбинации одних и тех же категорий, т. е. разница тут только, следовательно,  структурная. Только практика может решить, где тут бесконечно-малое, где предел и где чистая непрерывность.

10. Только после всех этих разграничений и различений мы можем судить о месте дифференциала, производной и интеграла на фоне общелогической теории числа.

Разумеется, поскольку мы вовсе не задаемся тут целью дать логику математического анализа как системы, а интересуемся только некоторыми его категориями в применении к логике, мы не будем подробно анализировать все эти три, только что полученные нами категории — бесконечно-малого, непрерывности и предела, а сосредоточимся только на последней.

Мы берем инфинитезимальную категорию предела и смотрим на нее теми же самыми расчленяющими глазами, какими смотрели и на число вообще, и на его инфинитезимальный тип. Тут мы тоже расчленим 1) «то, что», 2) «то, как» и 3) «то, куда», т.е. «нечто» (бытие), становление и ставшее.

Будем говорить о пределе (а всякий предел уже есть соединение того, что стремится к пределу, с самим этим стремлением, т. е. синтез конечного и бесконечного) и будем его рассматривать, считать как «то, что стремится к пределу». Как предел, это есть нечто устойчивое и, в частности, конечное. Однако в то же время это не есть конечное в абсолютном смысле, но то, что само вовлечено в стихию непрерывного и бесконечного становления. Это дифференциал, который как таковой есть переменная величина, но который в основе все же есть синтез конечного и бесконечного, и синтез — типа предела, поскольку в его основе лежит производная (а она всегда есть предел).

Далее, продолжаем говорить о пределе. Но на этот раз пусть наш предел будет не тем, что еще только стремится к своему пределу, но самим этим стремлением, или становлением. Это есть производная, которая есть прежде всего предел; но это не просто предел, предполагающий соответствующее становление, а предел отношения двух становлений, т. е. такой предел, который предполагает рассмотрение одного становления с точки зрения другого становления, т. е. основан на становлении становления, т. е. рассматривает становление именно как становление. Совершенно ясно, что в ряду инфинитезимальных категорий предельность тут дана с сугубым выдвиганием на первый план именно становления. Производная в логическом смысле есть именно метод становления дифференциала некоторым новым пределом, который и есть интеграл. Интеграл тоже есть прежде всего предел, как и дифференциал и производная, т. е. одинаково с ними синтез конечного и бесконечного. Однако из трех основных категорий в нем подчеркнуто не то, что становится, и не самое становление, но ставшее, то, чем стало становящееся, исчерпавши всю свою бесконечность и тем дойдя до своего предела.

Мы и тут настаиваем на полном существенном тождестве дифференциала, производной и интеграла. И только практика решает, что тут надо выдвинуть из трех моментов, одинаково данных во А. Ф. всех трех случаях, то ли, что стремится к пределу, самое ли стремление или то, куда идет это стремление, или его предел. Все дело, следовательно, в структуре этих понятий или, точнее, в разных структурах одного и того же понятия.

Можно сказать еще и так, как мы сказали, выставивши метрическую точку зрения на инфинитезимальное число. Можно сказать, что различие дифференциала, производной и интеграла зависит от того, чем мы будем их измерять, от единицы измерения. Это есть только другой способ для выражения принципа практики. Мы можем измерять общее инфинитезимальное число, взятое как предел, при помощи отдельных «единиц». Мы можем взять самую эту операцию «счета». И мы можем взять результат, то, что получается после такого инфинитезимального счета наших инфинитезимальных единиц. Из общего инфинитезимального числа, взятого по типу предела, получаются три указанные выше категории—дифференциала, производной и интеграла» [54] .

Итак, число «5». В соответствии с тем, что «…основное и существенное содержание понятий бесконечно-малого, непрерывности и предела—одно и то же», попробуем увидеть его и как нечто единое, объединяющее указанные понятия.

«5» – финал развертывания бесконечности процесса приближения, перехода от числа «4» - (4,0000000000000… ―> 4,9999999999999…)

Этот процесс незавершаем, по причине своей бесконечности и тем самым отсутствия границы, но, тем не менее, самой логикой такого отсутствия и ей как необходимым основанием – завершен. Необходимо лишь видеть рассматриваемую бесконечность как целое, и тогда эта целостность, как граница бесконечности диапазона (4,0000000000000… ―> 4,9999999999999…), – [55] становится «пятью»…

Цифра «5», целое число «5», константа «5» - это предел становления перехода от целого положительного числа «4» к целому положительному числу «5», продолжающий оставаться становлением, то есть движением перехода.

Таким образом, тайна трансформальной логики, если конечно есть необходимость говорить о тайне, проста и в буквальном смысле предельно-открыта, и она в уже знакомом нам, в том, что всё есть становление и что открытость эта – предельна.

Как это понимать?

Например так, как понимаются так называемые «предельные точки»:

«Предельная точка множества А, такая точка x пространства, сколь угодно близко от которой имеются отличные от x точки множества А, т. е. в любой окрестности которой содержится бесконечное множество точек из А. Характеристическим свойством П. т. множества A является существование по крайней мере одной сходящейся к ней последовательности различных точек множества А. П. т. множества А не обязана ему принадлежать. Так, например, всякая точка числовой прямой является П. т. для множества А рациональных её точек: ко всякому как рациональному, так и иррациональному числу можно подобрать сходящуюся к нему последовательность различных рациональных чисел» [56] .

«Пять» - это исчезающая, буквально растворяющаяся в бесконечности граница между: 4,9999999999999… и  5,0000000000000…

«Почему граница есть синтез идеи и ее инобытия, или  идеи и факта, или, выражаясь в самой общей форме, бытия и небытия. Бытие, осуществляясь, отличается, отталкивается от небытия; и как только это отличение заканчивается,  бытие получает определенность, т.е. сформулированность, при помощи предела, границы. Определить для диалектики  всегда значит ограничить, ибо без точного проведения границы со всем бытием, не относящимся к определяемому бытию, т. е. с инобытием, с небытием, не может  состояться и фиксация того, что входит в определяемое  бытие, т. е. не может состояться само определение. Итак, граница, определенность есть первый и ближайший законченный результат синтезирования бытия и небытия.  Но если это так, то совершенно бесполезно ставить вопрос о том, к чему относится граница—к бытию или к небытию. Часто затрудняются вопросом о том, к чему относится граница, т. е. окружность круга,— к самому ли  кругу или к окружающему его фону. Тут может быть  только диалектическое решение вопроса. 1) Граница бытия  есть только потому граница бытия, что она есть момент  самого бытия. Иначе бытие окажется лишенным границы и, следовательно, потеряет определенность. 2) Граница бытия относится к небытию, потому что создающее эту  границу есть именно небытие, и без наличия небытия не  было бы ничего, от чего бытие отличалось бы, т. е. не  было бы самой границы. 3) Граница бытия не относится  к бытию, потому что бытие есть само еще только то, что  нуждается в определении и ограничении, и внесение границы бытия в состав самого бытия потребовало бы наличия еще новой границы для определения бытия, которая  уже не входила бы в состав самого бытия. 4) Граница бытия не относится к инобытию, или небытию, и не  составляет его части, потому что, составляя часть инобытия, она и оставалась бы в недрах инобытия, и не выходила бы для встречи с бытием и для его ограничения.  Следовательно, граница  бытия есть и бытие, и небытие  и не есть ни бытие, ни небытие, и все это — при совершенно однозначном употреблении всех этих терминов. Граница потому и есть синтез бытия и небытия, что она одновременно есть и то, и это и ни то, ни это. Такова природа  и всякого диалектического синтеза — в отношении соответствующих тезиса и антитезиса» [57] .

Формальное и трансформальное различие понимание цифры «5» как целого числа лишь в том, что «5», будучи непрерывностью-стремлением-пределом, является всем указанным, прежде всего, является пределом; но аформальный смысл понятия «предел» в его отношении с собой, т.е. со своим необходимым основанием ведёт к тому, что предел («5») одновременно принадлежит-и-не-принадлежит охваченной и этим завершающейся-и-завершенной бесконечности; предел завершает (становление) бесконечность – 4,99999999999…, но и начинает (становящееся-ставшее) следующую бесконечность – 5,00000000000…

Таким образом, число «5» являет собой некоторое «точечное пространство» одновременно принадлежащее и не принадлежащее обоим интервалам.

Кратко говоря и формульно выражаясь, числовая форма «5» есть не только «5», но нечто иное формально неотличимое от «5», а если выразиться точно,т.е.математически: «5» + нечто.

Что же это «нечто» собой представляет?

Очевидно, что в числовом смысле это может быть лишь числовой разностью:  

«5–5=0»…

Но «0» в выражении количественного отношения двух величин также есть лишь формальная фиксация формального результата предельного перехода некоторого значения, предел которого и равен «0».

Предел  чего равен «0»?

А) Предел бесконечно малой (т.е. стремящегося к нулю действительного числа);

Б) Предел комплексного числа, мнимая компонента которого стремится к нулю.

В) Предел комплексного числа, действительная и мнимая компоненты которого стремится к нулю.

Так, по крайней мере, проявляет себя логика предела как весьма необычного, обращаем внимание, движения стремления к некоторой величине, которое оказывается в результате… данной величиной. Движение, становящееся – обращаем внимание неподвижностью количественной формы, и разве ни странно, что становящееся именно с точки зрения формальной логики?

Разумеется, странно. Но формальные математические умы, увы, удовлетворяются простым игнорированием такой странности и отрицая само движение просто берут результат движения к пределу, который оказывается неподвижностью его формального значения.

Обратим ещё раз внимание и на то, что формальная логика становится аформальной и трансформальной тогда, когда появляется бесконечность любого рода, будь то бесконечно малое или бесконечно большое. Интересно, что даже терминологически понятие «бесконечно малая» («бесконечно большая») противоречиво, ибо содержит в себе и выражает собой количественное отношение качества «больше» («меньше»),  имеющего смысл лишь для конечных и неподвижных числовых величин [58] .

 Итак, «5» – это предел, что означает исчезающая, подвижная, колеблющаяся, вибрирующая как бы с «бесконечной частотой» и «бесконечно малой» амплитудой «точечное» пространство, которое отделяет, но одновременно соединяет два целостных и равных друг другу интервала, граница двух бесконечных интервалов, которая одновременно принадлежит и не принадлежит обоим интервалам.

Обобщаем сказанное на любое целочисленное значение, ибо нет ни малейших логических причин не делать этого.

Любое положительное целое число как математическая форма, которой приписывается рассудком неподвижность и неизменность, то есть все целые числа являют собой т.н. «константы», но в действительности константа является некоторым пределом или границей которая обладает особым количественным качеством отличным от качеств чисел, которые включены во внутренние пределы данного целого положительного числа, являющегося его границей.

Стоит при этом напомнить, дабы дать известную возможность избавиться от всепоглощающего и довлеющего формализма рассудочности, что некоторое целое число – это не просто «исчезающая в бесконечной пучине» подобных себе всех иных точек на числовой прямой, как это видится формально, но содержательно есть «определенное количество». Это означает, что число «5» в себе как форме содержит бесконечное число иных чисел диапазона (0,5) и является ничем иным как формой-содержания, и именно формой движения содержания.

Таким образом предел есть прежде всего предельная форма, как форма принимающая на себя и в себя понятие предела есть форма становления содержания. Иначе говоря, бесконечное, но имеющее предел движение содержания, которое суть количественная мера интервала (0, 5) оформляет себя формой, которая становится пятью («5»). Но качество становления как движения выявляет то, что данная числовая форма, будучи антиномией «предела беспредельного» (как бы) свертывает пространство своего содержания, показывая этим, что такое «форма» вообще.

Итак, «предел» некоторого целого положительного числа является границей формы числового (количественного)  коллапса линейного пространства; именно  делает возможным завершение незавершаемого и ограничивает (охватывает) то, что не имеет границы и формально не может быть охваченным.

Ситуация антиномии, которая постоянно используются в качестве особого противоречивого или аформального (трансформального) определения (предел – беспредельного, охват – неохватного) действительно возникает и является результатом (рефлексивно-порождающей или самопорождающей себя как результат) причины -  одновременности существования предела как – вдумываемся! – предельно-о-пределённой-границы в двух различных числовых пространствах. Не что-то или кто-то извне «делает так», что числовое пространство становится замкнутым, логика наполнения, как логика движения раскрытия содержания этого пространства искривляет его, то есть само пространство изменяет свою кривизну наполняясь – определяясь развертывающимися бесконечностями числовых форм, взаимодействующих друг с другом и, наконец, как бы под «тяжестью» бесконечной плотности своего содержания свертывается в некоторую целостность. Эта целостность непременно имеет обособляющую границу т.н. «предела» и – очень важно – отрывается от пространства числовой прямой, но отрываясь от него, одновременно – остается в нём, ибо в свою очередь становится содержанием пространства большего количественного ранга.

Здесь уже можно видеть принципиальное отличие формального понимания «предела», который так и не выходит из пределов созерцающего вещно-в-себе-пребывающего кантовского представления и являет собой банальность монументальной неподвижности т.н. «математического мышления» и трансформального, то есть гегелевского, спекулятивного понимания.

Кроме этого, понимая, что любое определение есть отрицание, и любая, рассматриваемая нами числовая форма, допустим, всё то же число пять («5»), определяясь как форма – движением самоопределения – отрицает все иные целочисленные положительные формы от (1, …, 4) до (6, …, ∞) и, будучи однонаправленной [59] и определенной, вынуждена преодолеть свою собственную определенность и выходить, двигаться, порождать  пространство следующего интервала.

Линейное числовое пространство целых положительных чисел есть пространство иерархий числовых пространств одной из форм числового коллапса – целочисленного, вложенных друг в друга не-целочисленных числовых форм, которые являются содержанием и основанием любой целочисленной формы.

То или иное целое положительное число является границей математической числовой формы, во внутреннем пространстве которой свернута и существует как целое та или иная числовая бесконечность, соответствующая значению достигнутой ей количественной величины, которая выражается этим числом как своей формой.

Обратим особое внимание и на то, что данные выше трансформальные определения полностью совпадают с определениями в предыдущих Главах семантического коллапса.

Некоторое понятие, являясь формой содержит в себе бесконечное число своих форм-содержаний, которые искривляют и замыкают пространство понятия, причём форма, являясь пределом-границей так же принадлежит и не принадлежит своему внутреннему пространству.

Вспомним уже ранее приведенное (Вейль):

1.      «Пространство бесконечно не только в том смысле, что в нем не имеется конца; оно кроме того в любом своем месте бесконечно, так сказать, во-внутрь, и точка в нем может быть определена лишь путем бесконечного и от раза к разу все точнее и точнее фиксирующего ее процесса деления.

2.      «Для заполняющего его многообразия качеств пространство служит принципом их разграничения, впервые вообще создающим возможность существования различия в сфере качественного; однако пространство является не только принципом разграничения, но вместе с тем и принципом соприкосновения, непрерывной связи…»

К п.1: Понятие, любое понятие – бесконечно, так как содержательно являет собой бесконечный мир, бесконечно развертывающееся внутренне пространство форм-содержаний, отношения и движение отношений которых и порождает качество пространственности как общую форму таких отношений, то всеобщее, что объединяет собой все формы и все отношения.

К. п.2: Потому не пространство является неким «принципом разграничения», который одновременно является «принципом непрерывной связи» – это как раз типично формалистское видение, разрывающее причинно-следственную связь отношений форм и отрывающее саму форму понятия от его содержания. Форма – содержательна, «явление есть не просто нечто лишенное сущности (Wesenloses), а проявление (Manifestation) сущности». Формализм пытается даже неосознанно вытолкнуть противоречие становления, противоречивость самого понятия куда-то вовне, хотя бы в пустое инертное пространство, наделив эту внешнюю инертность абстрактно-противоречивой действенностью, которая каким-то неясным образом контролирует и координирует правила игры форм и их отношени.

Так, именно бесконечность внутреннего пространства того или иного понятия, в том числе и числового, диктует логику того, что хотя впереди и бездна бесконечного, требующая бесконечного времени и усилий для того, чтобы стать преодолимой, но мысль – понятием форм содержаний и их движением охвата (свертывания, исчерпания и замыкания) данного понятийного пространственного континуума легко перешагивает и преодолевает границу подобно Ахиллесу в апории Зенона.

Почему?

А потому, что движение мысли осуществляется одновременно в обоих пространствах – внутреннем и внешнем.

Почему?

Потому что мысль – это самодвижение волны (или движение фокус-формы [60] ) Всеобщего Пространства в Самом Себе, то есть в пространстве, ранг размерности которого сущностно существенно выше [61] ранга пространств в которых мысль как мыслеформа мышления мыслящего воплощается – т.е. проникает в глубины измерений иерархий миров являющихся формами-проекциями Всеобщего Пространства Мысли [62] .

Мы рассмотрели ряд важных аспектов основы математического анализа – понятия математического предела, обнаружив при этом, что в основе самого понятия предела находится не осознаваемая и недопонятая логика известная на тот исторический момент как логика гегелевского спекулятивного мышления.

Таким образом, осуществленное выдающимися математиками, широко известное и общепринятое на данный момент обоснование анализа стало на деле и первым элементом уже не аналитической, а синтетической математики. В сфере, в которой были продемонстрированы выдающиеся достижения в виде дифференциального и интегрального исчислений Всеобщая математическая мысль прикоснулась и даже в известном смысле оперлась на самое прочное основание – основание Математического Абсолютного, хотя сама этого так и не поняла, а если и поняла, то сугубо формально.

 Можно и нужно при этом обратить внимание на то, когда именно происходило описываемое, какой период охватывало, и ещё в большей мере обратить внимание на глубинные причины происходившего тогда.

Почему математики по целому ряду причин не были озабочены проблематикой познания и выявления Истины, и почему их вполне удовлетворял её формально-логический рассудочный суррогат – непротиворечивость? 

Непротиворечивость есть сугубо формальное качество формулируемое рассудком в его движении на опоры-реперы форм, принимаемых по тем или иным причинам за базовые, так сказать, наиболее общие, которые и становятся достаточным основанием самого указанного движения, но основанием и движением формальным.

«Прекрасно понимая, что от претензий математики на роль носительницы абсолютных истин о реальном мире необходимо отказаться, критически мыслившие математики в то же время отдавали должное колоссальным достижениям своей науки в механике, акустике, гидродинамике, теории упругости, оптике, теории электромагнетизма, а также во многих отраслях техники; они по достоинству оценивали исключительную точность даваемых математикой предсказаний в этих областях. Математика сражалась под непобедимым знаменем истины, но одерживать победы ей позволяла какая-то скрытая и даже таинственная сила [63] . Необычайная эффективность математических методов в естествознании, разумеется, нуждалась в объяснении (гл.XV), но отрицать мощь математики как инструмента познания и отмахиваться от нее не осмеливался никто. Без сомнения, эту мощь не следовало подрывать, погружаясь в лабиринты логических трудностей и противоречий. И хотя математики, поступившись строгими обоснованиями, нарушили собственные принципы доказательности, в их намерения отнюдь не входило навсегда оставлять математику на прагматической основе. На карту был поставлен престиж математиков, ибо как иначе они могли провести грань, отделяющую их возвышенную деятельность от прозаической работы инженеров и ремесленников?

И некоторые математики вознамерились еще раз пройти по едва различимым следам прошлого, оставленным в процессе бурного развития своей науки, и проложить надежные пути к тому, что уже достигнуто. Свои усилия они решили прежде всего направить на построение (или критическую перестройку) оснований математики.

Чтобы привести в порядок здание математики, требовались решительные и крутые меры. К тому времени уже стало ясно, что не существует твердой почвы, на которой можно было бы без опасений заложить фундамент математики: столь надежная на первый взгляд опора на истину оказалась обманчивой. Но, может быть, гигантское здание математики станет устойчивым, если под него подвести прочный фундамент иного рода, представляющий собой полную систему четко сформулированных аксиом, определений и явных доказательств всех результатов, сколь бы интуитивно очевидными они ни казались? Основной акцент делался не на истинность утверждений, а на их логическую совместимость, т. е. непротиворечивость. Теснейшая зависимость между аксиомами и теоремами должна была придать устойчивость всему зданию математики. Отдельные части этого здания оказались бы накрепко стянутыми скрепами независимо от того, насколько прочно само оно опирается на землю. Так колеблется под напором ветра гигантский небоскреб, оставаясь тем не менее единой, цельной конструкцией от крыши до фундамента.

Математики начали с оснований математического анализа. Но поскольку математический анализ предполагает использование арифметики вещественных чисел и алгебры, не имевших обоснования, нелогичность такого шага станет более очевидной, если обратиться к следующей аналогии. Представьте себе, что владелец пятидесятиэтажного дома со множеством жильцов, битком набитого мебелью и различной утварью, узнав о шаткости здания, решает перестроить его — и начинает капитальный ремонт с двадцатого этажа!» [64] .

Итак, необходимо обратить внимание на следующие важнейшие моменты логики развития обоснования математического знания, или иначе говоря, логику самодвижения математики в направлении своего достаточного и необходимого основания:

А) условия и причины того, почему евклидова геометрия и теория чисел столь длительное время вполне удовлетворялись своим антично-формальным основанием;

Б)  каким образом в какой последовательности именно отношение отвлеченных математических форм выявляло в достаточном основании – через абстрактное формальное отношение этих форм – основание необходимое:

«Если учесть, как прекрасно начал строить Евклид дедуктивную систему геометрии и теорию целых чисел, то нелогичность истории математики естественно подводит нас к вопросу: почему математики так много и так безуспешно пытались обосновать иррациональные, отрицательные и комплексные числа, алгебру, дифференциальное и интегральное исчисление, теорию функций вещественного и комплексного переменного, в то время как евклидова геометрия и теория чисел возводилась на столь шатком основании, и почему это никого не смущало? Ответ на этот вопрос частично уже известен (гл. V): поскольку развивавшиеся Евклидом разделы математики затрагивали интуитивно совершенно ясные понятия (как точка или целое положительное число), найти фундаментальные принципы, или аксиомы, из которых надлежало выводить остальные свойства, было сравнительно просто, хотя аксиоматика Евклида вовсе не была лишена недостатков и в ней отсутствовали как понятие неопределяемого объекта, так и полноценные определения начальных понятий. Что же касается иррациональных, отрицательных и комплексных чисел, операций над буквенными символами, понятий дифференциального и интегрального исчисления, то они для понимания гораздо труднее тех понятий, с которыми имели дело древние греки, и поэтому некритическое их использование вызывает большую неудовлетворенность.

Но была и более глубокая причина. Сами того не желая, великие математики вызвали своими трудами едва уловимое изменение в самой природе математики. До XVI в. математические понятия были идеализациями или абстракциями, почерпнутыми непосредственно из опыта. Правда, к тому времени отрицательные и иррациональные числа уже были приняты индийцами и арабами. Но хотя мы отнюдь не склонны недооценивать вклада, внесенного арабами и индийцами в развитие математики, в вопросах обоснования они полагались главным образом на интуицию и «внематематический» опыт. Когда же появились комплексные числа, а также алгебра, широко использующая буквенные коэффициенты, производные и интегралы, главенствующее положение в математике заняли понятия, представляющие собой абстракции более высокого ранга. Так, понятие производной, или мгновенной скорости изменения величины, хотя оно и не лишено интуитивной основы (ибо существует физическое понятие скорости), является весьма абстрактным. Качественно оно имеет совсем иную природу, чем, например, понятие треугольника. Аналогичным образом были обречены на провал все попытки математиков — еще не осознавших, что все эти понятия не основаны непосредственно на опыте, а являются абстракциями более высокой степени,— понять, что такое бесконечно большие величины, которых так старательно избегали греки, бесконечно малые величины, которые греки так искусно обходили, а также отрицательные и комплексные числа.

Иначе говоря, математики создавали понятия, а не черпали абстрактные идеи из реального мира. В поисках источника математических идей математики стали обращаться не к ощущениям, а к человеческому разуму [65] . По мере того как новые идеи оказывались все более полезными в приложениях, их принимали — сначала недовольно, а потом с жадностью. Становясь привычными, новые понятия отнюдь не становились более приемлемыми: привычка лишь рождала у математиков некритичность и создавала ощущение естественности там, где этой естественности на самом деле не было. Начиная с XVIII в. в математику входило все больше далеких от непосредственного опыта, все более абстрактных понятий, которые тем не менее принимались с все меньшими трудностями. […]

Не почувствовав изменения, происшедшего в характере новых понятий, математики тем самым лишили себя возможности признать необходимость иной основы для аксиоматического построения своей науки, чем самоочевидные истины. Разумеется, новые понятия отличались от старых большей тонкостью, и заложить надлежащий Аксиоматический фундамент, как мы теперь знаем, здесь было совсем не так уж просто. […]

Напрашивается еще один вопрос: почему математики были так уверены в своих результатах, хотя они прекрасно понимали (особенно в XVIII в.), что основные понятия математического анализа сформулированы недостаточно ясно, а доказательства неадекватны? Отчасти такая уверенность объясняется тем, что многие математические результаты были подкреплены опытом и наблюдением. Мы уже рассказывали (гл. II) о замечательных предсказаниях в астрономии, сделанных на основе математических расчетов. Но математики XVII—XVIII вв. верили в правильность своих результатов и еще по одной причине: они были убеждены в том, что мир сотворен богом на основе математических принципов, а они призваны постепенно раскрывать планы творца (гл. II). И хотя их открытия не носили общего характера, математики считали эти открытия составными частями единой основополагающей истины. Вера в то, что они открывают детали божественного замысла и в конечном счете достигнут когда-нибудь «земли обетованной» и вечных истин, поддерживала дух математиков XVII—XVIII вв., вселяла в них бодрость, а плодотворные научные результаты были для них манной небесной, питавшей разум и облегчавшей их тяготы.[…]

В конце XVIII в. математики осознали, что созданная ими наука отнюдь не была тем образцом строгости, каким ее считали. Вместо дедуктивных рассуждений в ней широко использовалась интуиция, геометрическая наглядность, физические соображения, принципы, взятые «с потолка» (например, принцип перманентности форм), а в качестве аргумента для обоснования принимаемого обращались к метафизике.

Идеал логической структуры, несомненно, был выяснен и провозглашен древними греками. Немногих математиков, задавшихся целью достичь его в арифметике, алгебре и анализе, поддерживала вера, что по крайней мере в одном весьма важном случае— в евклидовой геометрии — столь высокий идеал был достигнут. А если кому-то удалось однажды взойти на Олимп, считали они, то не исключено, что и другие сумеют покорить вершину. Эти математики и не предполагали, что подведение строгого обоснования под всю существующую математику окажется задачей несравненно более трудной и тонкой, чем можно было представить в середине XIX в. Не могли они предвидеть и новых трудностей, которые возникнут на их пути» [66] .

Вновь вспомним Вейля:

«Как показал К. Гёдель, всегда найдутся конструктивно очевидные арифметические суждения, не выводимые из аксиом, как бы вы их ни формулировали, и в то же время аксиомы, безраздельно правящие всеми тонкостями конструктивной бесконечности, выходят далеко за пределы того, что может быть подтверждено опытом. Нас не удивляет, что фрагмент природы, взятый в своем феноменальном изолированном бытии, бросает вызов нашему анализу с его незавершенностью и неполнотой; именно ради полноты, как мы видели, физика проецирует то, что дано, на то, что могло бы быть. Но удивительно другое: конструкция, порожденная разумом, — последовательность целых чисел, эта, — обретает аналогичную неясность и ущербность, если подходить к ней с позиций аксиоматики. Но тем не менее это факт, отбрасывающий зыбкий отблеск на взаимосвязь опыта и математики. Несмотря на проницательность критической мысли — а может быть, благодаря ей — мы теперь гораздо меньше, чем наши предшественники, уверены в тех глубинных устоях, на которых покоится математика»

А так же:

«Но одну решающую, хотя саму по себе и не достаточную, характеристику процесса понимания я хотел бы подчеркнуть: различные стороны предмета математического исследования мы подвергаем естественному разделению, каждую сторону в отдельности осваиваем, исходя из особого, сравнительно узкого и легко обозримого набора предположений и затем возвращаемся к целому, подходящим образом объединяя частные результаты в сложное единство. Последняя, синтетическая, часть процедуры носит чисто механический характер»

Обратим внимание на то, что аналитическое понимание математических действий и отношений охватывает и понимание, опять же сугубо рассудочное и формализованное синтеза, как некоей сугубо формальной процедуры, призванной просто соединить ранее разъятое в некоторую общность.

Аформальное же понимание напротив, непрерывно видя формальность различия форм именуемых «анализом» и «синтезом», и признавая законность существования обоих форм, тем не менее не разрушает континуальный поток превращения (перехода) одного в другое, не отрывает их друг от друга, наблюдая воочию их встречную обоснованность друг другом как единого бесконечного спиралеподобного движение одного в другом.

Осуществим и продемонстрируем в качестве элементарного примера процедуру вывода того, о чем упоминает Вейль:  «простейшую и самую прозрачную для конструктивного ума вещь» - последовательность целых чисел, которая с формальных позиций, как указано, совершенно неподвластна и недоступна аксиоматическому подходу.

Итак, на необходимом (и достаточном) трансформальном основании покажем Логику вывода последовательности целых чисел.

Но для этого, прежде отдадим себе отчет в том, что логика такого вывода должна быть тождественная логике вывода числа вообще, т.е. полей рациональных, иррациональных, трансцендентных и комплексных чисел, ибо иначе такая логика не могла бы быть и называться Логикой Всеобщего – Единой, Трансформальной Логикой. По этой причине нам естественно придётся вывести и обосновать все иные формы алгебраических чисел, продемонстрировав при этом существенные прорехи и пустоты существующего математического фундамента, в частности в области того, что называются гиперкомплексными числами, или  кватернионами и октонионами, являющимися мертвыми, искусственными, формализованными числовыми формами.

Всё есть, так или иначе, число. Если бы некоторой произвольной форме материального мира нельзя было поставить в соответствие её абстрактное или идеальное символическое, и в частном математическом случае числовое выражение-отражение, то не существовало бы и самого мира противоположного миру идеального, атомарной (элементарно-числовой) символической единицей которого является число.

Видимо настала пора проделать то, что в своё время не было сделано, а именно обоснование чисел как многообразия форм единого основания:

«… математический анализ предполагает использование арифметики вещественных чисел и алгебры, не имевших обоснования, нелогичность такого шага станет более очевидной, если обратиться к следующей аналогии. Представьте себе, что владелец пятидесятиэтажного дома со множеством жильцов, битком набитого мебелью и различной утварью, узнав о шаткости здания, решает перестроить его — и начинает капитальный ремонт с двадцатого этажа».

И мы сейчас проделаем это, правда, ни в коей мере не претендуя на полноту, но показав, так сказать, общее направление с раскрытием ряда существенных частностей, ибо излагаемый материал носит преимущественно пропедевтический (учебный) характер.

Начнём. Необходимым математическим основанием, как случаем необходимого абсолютного основания является  понятие «Абсолют».

Абсолютное – Всё и Ничто абсолютно единое и абсолютно обособленное, самопорождающее само себя и само себя исключающее, Единственное-Множественное-Что-Есть-Было-и-Будет…

И нужно видеть, что особенно важно для математики, оперирующей преимущественно предельно, бесконечно вырожденным качеством, качеством количества –  Абсолютное Основание Всего – включая и Само Основание не является ни конечным, ни бесконечным, Оно не есть форма и не есть не-форма, не есть Ничто и не есть Нечто… Абсолютное – абсолютно лишено любой определенности, включая и определенность, выражаемую понятием «неопределенности»…

На деле в силу движения отношения в поисках Абсолютного мы, так или иначе, должны выйти к тому, что является Абсолютным Первомоментом Абсолютного Основания, который в Самом Основании и для Самого Абсолютного Основания является основанием:

«Прежде всего загадочным является первый момент.  Он есть «нечто», которое тождественно самому себе  в «этом» и в «ином». Каким образом оно может быть  самотождественно и что значит эта   самотождественность? Мы уже знаем, что «нечто» есть, прежде всего,  отсутствие всякого полагания. Оно есть до-полагание.  Итак, до-полагание, предшествующее полаганию   («этому») и ино-полаганию («иному»), одинаково присутствует  и в том и в другом. Но если «нечто» еще не положено, то  тут возникает весьма глубокое диалектическое обстояние,  требующее полного разъяснения. Если «нечто» не   положено, то оно есть чистое «нечто», т. е. лишено всякого  фона, на котором оно было бы положено. Если что-  нибудь положено, оно тем самым окружается инобытием,  полагается в том, что не есть оно само, т. е. в инобытии.  Такое же «нечто», которое никак не положено, не имеет  никакого инобытия, не окружено никаким инобытийным  фоном. Но то, что не имеет вокруг себя никакого инобытийного окружения, то ничем и не отличается ни от чего.  И вот это-то неотличие и требует ясного представления.

То, что ничем ни от чего не отличается, может ли быть  вообще чем-нибудь! Что-нибудь, если оно действительно  что-нибудь, всегда отличается от всего иного именно  этим самым признаком чего-нибудь. Раз нет ни от чего  отличия, нет и самого «чего-нибудь», нет этого самого  «нечто», а есть «ничто». Это один из самых   фундаментальных и в то же время вполне примитивных тезисов  общей диалектики. Нечто, никак не будучи положено, не  имеет никакого инобытия, от которого оно чем-нибудь  отличалось бы, и, следовательно, не есть что-нибудь, т. е.  оно ничто. Или: одно, если оно ни от чего не отличается  (т. е. если нет никакого иного, другого), есть ничто.

Это ничто, однако, не есть полное и абсолютное  отсутствие всякого бытия. Это есть абсолютное   отсутствие бытия для мысли, так как мыслить — значит прежде  всего различать, а где нет различения, там нет мысли. По  бытию же это ничто не только не есть абсолютное отсутствие всякого бытия, а, наоборот, полное его присутствие, настолько полное его присутствие, что оно   охватывает собою и бытие («это»), и инобытие («иное»),  и настолько охватывает их, что уже содержит у себя все,  все полностью; и даже не остается ни одной точки, которая бы в него не входила и от которой оно чем-нибудь  отличалось бы. Отсюда ясно, что бытие не есть последнее  основание действительности, равно как и знание не есть  это основание, ибо то и другое предполагает различение.  Различение же не изначально, оно предполагает   инобытие. То же, откуда происходит и бытие, и инобытие, выше  и бытия, и инобытия; и оно есть такое бытие, которое  выше всяких различений и выше самой   противоположности знания и бытия.

Однако эти вопросы далеко выходят за рамки настоящего исследования и должны иметь свое место в общей  диалектике. Здесь же нас интересует только вопрос о неразличенности изначального «нечто» и о тождестве его  с «ничто». Отсюда вытекает, что изучаемое нами «ничто-нечто», охватывая все, есть уже абсолютное тождество,  не тождество в каком-то одном отношении, но тождество во всех решительно отношениях, тождество абсолютное.  Выше мы нашли, что «это» и «иное» тождественны   между собою в смысле «нечто» и различны по своему нумерическому бытию. Следовательно, получается, что «это»  и «иное», с одной стороны, суть вместе некое единое  абсолютное тождество, с другой же — оно некое абсолютное различие. Спрашивается: как совмещается между  собою то и другое, абсолютное тождество и абсолютное  различие?

В «этом» есть некое бытие, носящее смысл «нечто»;  и в «ином» есть некое бытие, носящее смысл «нечто». Тут  два различных факта, носящих один и тот же,   самотождественный смысл, смысл «нечто». Мы и говорим, что по  факту «это» и «иное» разное, а по смыслу — одно и то же.  Однако при более близком исследовании этот вопрос  приходится решать совсем иначе. Если в каждой из этих  областей есть факт (бытие) и смысл («нечто») и если  факты эти — разные, а смысл — один и тот же, то как же  общаются между собою в каждой отдельной области эти  ее подчиненные моменты, факт и смысл? Допустим, что  между ними абсолютно нет ничего общего. Тогда   получится, что «это» и «иное», тождественные в одном   отношении и различные в другом, тем самым расслояются  на две разные области, не имеющие ничего общего. Одна  часть «этого» тождественна с одной частью «иного»,  а другая [часть] «этого», абсолютно оторванная от   первой его части, различна с соответствующей частью   «иного». Получается, что для объяснения диалектического  взаимоотношения «этого» и «иного» мы принуждены  были рассечь единую и цельную природу «этого» и   совершенно утерять его единство. Следовательно, если «это»  действительно есть, то бытие и смысл в нем не могут  быть абсолютно различны. В каком-то отношении они  должны быть и тождественны. Если мы теперь опять  повторим то же рассуждение относительно различных  и тождественных моментов в бытии и смысле «этого»,  отбрасывая то, что в них различно, и оставляя то, в чем  они тождественны, то трудность повторится снова: надо  будет признать, что или «это» рассыпается на еще   большее количество абсолютно взаимно дискретных частей,  или же между ними существует тождество не в каком-  нибудь одном отношении, но во всех отношениях, какие  только возможны, абсолютное тождество. Стало быть,  или уже с самого начала «это» и «иное» тождественны во  всех отношениях, тождественны абсолютно (а не в каком-  нибудь одном отношении), или то и другое рассыпаются  на бесчисленное множество абсолютно дискретных друг  в отношении друга частиц. «Это» рассыпается в   алогическую пыль — неизвестно чего. Итак, диалектика   показывает, что «это» и «иное» не только тождественны между собою в одном отношении (в смысле «нечто») и различны  в другом отношении (в отношении нумерического факта,  бытия), но что они также еще и тождественны между  собою абсолютно, тождественны не в каком-то одном  отношении, но во всех отношениях, которые только   возможны.

Это понятно просто еще и потому, что «это» и «иное»  содержат в себе «нечто», т. е. не-полагаемый смысл,  а этот последний, по нашему исследованию, как ни от  чего не отличающийся, охватывает собою абсолютно все  и есть абсолютное тождество. Стало быть, уже по   одному такому условию «это» и «иное» оказываются   абсолютным тождеством.

Вот каково диалектическое значение этого первого  момента, отмеченного нами в сфере понятия числа. Тут  совсем нет ничего удивительного, если мы внимательно отнесемся к процессу счета, который мы сейчас  анализировали. В самом деле, все числа натурального  ряда являются некими единицами, единичностями,   невзирая ни на какую величину данного числа. Двойка  есть такая же единичность, как и единица; тройка также  есть нечто и, значит, нечто одно, единичность; четверка  опять есть нечто, нечто одно, единичность и т. д.   Словом, единица, единичность фигурирует решительно во  всяком числе, целом, дробном, рациональном,   иррациональном и пр.; и, как таковая, она везде совершенно  одна и та же, везде она абсолютно самотождественна.  И только благодаря такой самотождественной единичности и держится натуральный ряд чисел. Без нее он  рассыпался бы вдребезги и нельзя было бы  сконструировать ни одного числа.

Конечно, это еще не все. Числа не только тождественны между собой, но еще и различны между собой. Однако диалектическое исследование показывает, что эта самотождественность так же необходима, как и саморазличие» [67] .

Понятие «абсолютное» включая, разумеется, и математическое абсолютное, является скорее не понятием, а абсолютным символом-понятием, непостижимой и непредставимой формально-смысловой сингулярностью и не более. 

Но удел непостижимого, включая даже «абсолютно непостижимое» – становиться постигнутым и потому …. Абсолютное, оставаясь Собой в силу необходимости тождества Себя – Себе, становится относительным и тем самым формально (трансформально) переходит в свою  противоположность, соотносясь с Собой и в процессе такого соотношения и его форм раскрывается, обретая смысл.

Абсолютно Немыслимое и замкнутое в Себе Самом, таким образом осмысливается и раскрывается.

Но раскрывается не чему-то стороннему и внешнему (ничего стороннего и внешнего нет), а раскрывается Себе Самому как бесконечности взаимодействующих и единых в Сущности фокусов движения самоотражения (самодвижения отражения), высшие формы которого уже становятся узнаваемы и даже отчасти понимаемы относительным абсолютным как человеческая форма Абсолютного Сознания и именуются этим относительным абсолютным «сознанием» [68] .

Математическим символом, обозначающим (фиксирующим, определяющим, раскрывающим) Абсолютное (Всеобщее) Основания является «0» (ноль).  

Математики не было бы без уравнения и функции.

Уравнение и функция – формы математических понятий вида «единичное (особенное) есть общее (всеобщее)».

Символ общности (всеобщности) – «0» принято располагать с правой стороны математического выражения, без него такое выражение полностью теряет свой смысл.

Интересно, что математики очень редко задумываются над тем, что именно означает приравнивание того или иного математического (символического) выражения нулю. 

А что оно может означать, как ни ту или иную форму значимости некоторой математической формы, которую принимает, которой обертывается всеобщее основание и тем самым  математическое (символическое) выражение становится определенным и обретает некий смысл?

Уже знакомая нам «рупа – шунья», т.е. «форма – пустота». Но ноль (нуль) разумеется, ни есть «пустота», а лишь обозначение того «нечто-ничто», откуда все исходит и произрождается, и куда и к чему все возвращается.

Символически. Математически.

«Какое число в математике соответствует этому понятию границы как диалектического синтеза, если под тезисом понимать положительное число, а под антитезисом— отрицательное? Таковым числом является нуль. Нуль есть тождество полагания или утверждения и отрицания, диалектический синтез положительного и отрицательного числа — в смысле границы, отделяющей положителъные числа от отрицательных, и в смысле предела, одинаково и одновременно как относящегося к той и другой сфере, так и не относящегося ни к той, ни к другой сфере, а представляющего совершенно отдельную, самостоятельную и оригинальную категорию.

… нуль есть граница в математическом смысле — это банальная истина элементарных школьных учебников. Но необходимо понимать это не только математически, но и чисто логически, т. е. диалектически. В арифметике или геометрии нуль — граница между положительными и отрицательными числами в чисто счетном смысле. Кроме того, во всех подобных рассуждениях у математиков звучит всегда нотка условности, необязательности. Утверждают, что просто условились так, чтобы вправо от центра координат по линии х-ов отсчитывать положительные величины, а [влево—] отрицательные, и что в самом центре координат значение х и у равно нулю. В логике не может быть такой условности. Вовсе не условились так, что между положительными и отрицательными числами лежит граница, именуемая нулем, но иначе и быть не может. Наличие нуля как границы неизбежно и неотстранимо для мысли, как только она начинает прикасаться к этому предмету. Само основание бытия таково, что между положительным и отрицательным числом лежит нуль и что этот нуль и положителен, и отрицателен и в то же время не положителен, и не отрицателен. Диалектика нуля заключается в синтезировании этих двух сфер и, стало быть, в их четком разграничении. Он — устойчивый и твердый синтез числа как бытия, факта, как положенного и, следовательно, положительного числа и числа как небытия, инобытия, идеи как отрицаемого и, следовательно, отрицательного числа» [69] .

Таким образом, ноль не просто некоторое число, т.е.– не просто некоторая числовая граница, но граница всех границ, т.е совершенно непостижимая формальным умом всеобщая граница Пространства в границах, в пределах которого находится всё, все числа, вся математика:

«Само основание бытия таково, что между положительным и отрицательным числом лежит нуль и что этот нуль и положителен, и отрицателен и в то же время не положителен, и не отрицателен. Диалектика нуля заключается в синтезировании этих двух сфер и, стало быть, в их четком разграничении. Он — устойчивый и твердый синтез числа как бытия, факта, как положенного и, следовательно, положительного числа и числа как небытия, инобытия, идеи».

Как нам уже известно, ноль познавательно распадается на ряд своих форм: формальную, аформальную и трансформальную, последняя есть одновременно и причина и следствие первых двух.

Трансформальный ноль или Т-нуль есть результат и источник движения и перехода друг в друга нуля формального (арифметического), т.е. «точки» и аформального – бесконечной прямой являющейся диалектической противоположностью точки.

Но бесконечное и конечное едины и являют собой трансформу этих двух форм. Бесконечная прямая замкнута относительно самой себя (на саму себя) и является бесконечно большим – бесконечно малого – точки, форма структуры которой не может быть не идентична структуре формы своего иного – прямой, ибо является ей, диалектически тождественная ей.

Таким образом, трансформальная логика формирования (оформления – формального и аформального) математических объектов, которые обычно вводятся в математику аксиоматически, требует наличия вечной неизменной и универсально-всеобщей формы математического универсума – кольца.

Точка, таким образом, структурно есть  бесконечно малая кольцевая форма математического универсума. 

Математический универсум есть вместе с тем то или иное математическое пространство, порождаемое формами своей реализации.

В зависимости от выбора формы реализации универсума «точка» может быть точкой, т.е. рассматриваться как формальная точка – бесконечно малое и лишенное каких-либо измерений, а может быть пространством бесконечной прямой [70] . Но рассматриваемые сейчас нами базовые математические формы математических объектов (точки и прямой) не являются собственно действительно трансформальными, т.е. всеобщими. Они – лишь общие.

Математическая трансформа – это … абсолютное, рефлексивное движение которого, являющееся очевидно движением отношения порождает общее. Его (трансформальное) по понятным и  уже описанным выше причинам довольно трудно описать, но мы всё же попытаемся.

Попытаемся, используя метод аналогии или подобия.

Ещё раз вспомним Г.Вейля:

«Пространство бесконечно не только в том смысле, что в нем не имеется конца; оно кроме того в любом своем месте бесконечно, так сказать, во-внутрь, и точка в нем может быть определена лишь путем бесконечного и от раза к разу все точнее и точнее фиксирующего ее процесса деления. Это представление противоречит интуиции покоящегося и законченного в себе бытия пространства».

И здесь необходимо отдать себе полный отчет о сути противоречия того, что  действительно «противоречит интуиции покоящегося и законченного в себе бытия пространства», т.е. попробуем понять, что т.н. «вещественные (действительные) числа» в действительной реальности являются первой, назовем её α-мнимой формой выражения, раскрытия того, что может быть названо истинным числом, абсолютным числом-символом, которое и есть некоторый аспект Математического Абсолютного.  

Фактически мы продолжим линию мысли А.Ф.Лосева об Абсолютном Математическом – Первоосновании, которую мы начали рассматривать парой страниц ранее, но, по-видимому, такое рассмотрение должно быть предварено следующим замечанием.

Вызывает живейшее недоумение то воистину прискорбное обстоятельство, что столь драгоценное научное наследие, переданное гениальным русским мыслителем-философом А.Ф.Лосевым России и русским, фактически на текущий момент лежит без дела, являя этим уже не столько «немой укор», но скорее даже чудовищного диаметра философское «бревно в глазу» всей мировой философии, не замечать которого уже просто неприлично для человека даже просто слегка интеллигентного, не говоря уже о многочисленных легионах носителей всё же кое к чему обязывающего титула философа.

Мы  приводим далее большой отрывок из работы «Диалектические основы математики», который просто и элегантно раскрывает и демонстрирует настоящую тайну истинного основания математики, о которой, как легко было заметить, сами математики не раз упоминали как о terra incognita.

На деле исторически весьма немногие философские работы заслуживают высокого и чрезвычайно редкостного звания гениальных. И речь не о той дешевой доморощенной «гениальности», которая рождается рынком, когда в роли повитух выступают те разнообразнейшие формы своекорыстного интереса, за которым всегда стоит некоторая социальная группа.

Речь о плодах истинного духовного мыслетворчества, на  которых будет вечно и нерушимо стоять мир человеческий.

«Основная диалектика понятия числа.  Обследуя три первые момента, установленные нами  в понятии числа (§ 19), мы, следовательно, находим такое  положение дела. Число есть полагание, акт смыслового  полагания («это», «одно», «бытие»), требующий для себя  инобытия («иное»), в сфере которого и совершается это  полагание, и все эти полагания объединены одним неполагаемым актом в одно абсолютное тождество («нечто»).  Однако это далеко еще не может считаться формулой  числа — уже по одному тому, что здесь употреблены  понятия «объединения» и «одного», являющиеся   числовыми понятиями, так что опять-таки получается   частичная тавтология. Эта формула должна быть уточнена.  «Объединение» само должно быть разъяснено   диалектически. Следовательно, до сих пор мы установили только  одно: число есть акт смыслового полагания, требующий  для себя инобытия, в сфере которого и совершаются эти акты. Как же описать это до-полагаемое «объединение»,  в котором совпадают все отдельные акты полагания?

Что это объединение вытекает из абсолютной   самотождественности до-полагания, это мы уже знаем. Однако  такое объединение есть, собственно говоря, не объединение многого, но абсолютная единичность, в которой нет  ничего не только многого, но и вообще раздельного.  Необходимо, стало быть, это абсолютное   самотождество, или абсолютную единичность, как-нибудь   приблизить к реальному натуральному ряду, не уничтожая этой  природы, конечно, и не принимая ее. Такое приближение  получается тогда, когда мы попробуем объединить «это»  (бытие) и «иное» (небытие) в новую структуру, дать их  диалектический синтез. Из общей диалектики мы знаем,  что бытие и небытие синтезируются в становлении. В   становлении есть и то, что именно становится, и принцип  небытия того, что становится (поскольку в каждый новый  момент становление уже не то, чем оно было в   предыдущий момент). Но становление дает становящееся  объединение «этого» и «иного», т. е. дает некое   постоянно нарастающее осуществление упомянутой абсолютной  единичности. В этом процессе, в процессе становления,  абсолютное самотождество (абсолютная единичность) не  остается недвижным, но бесконечно повторяется, и тут  мы уже вплотную подходим к логической конструкции  натурального ряда чисел. Итак, объединение бытия и   небытия совершается в числе через введение 1) принципа  абсолютной самотождественности смыслового   полагания и 2) принципа становления этой абсолютной   самотождественности. Но и это еще не все.

Если формулировать наблюдаемый здесь нами диалектический процесс во всей логической последовательности, то мы получим такую схему:

I

СУПРА-АКТ

(число на стадии тождественности всех чисел, перво-

полагание, не различенное полагание, акт вообще)

II                                                                                         III

ИН-АКТ (акт полагания)                                                          КОНТР-АКТ (акт отрицания)

(дифференцированное полагание, число на стадии внешней отличенности; первое проведение границ,  отделяющих одни полагания от других,— внешне раздельный акт полагания)

IV

ИНФРА-АКТ

(становление раздельных актов полагания: число на стадии неопределенного пробегания по отдельным актам полагания, как бы по отдельным точкам, «единицам»; становящиеся границы чисел; совокупность внешне раздельных актов полагания)

V

ИНТРА-ЭКСТРА-АКТ, СТАВШИЙ АКТ

(остановившееся расширение границы числа, впервые дающее возможность пересчитать «единицы» в данных пределах; внутренняя расчлененность числа; внутренно раздельная, внутренно определенная совокупность внешне раздельных актов полагания)

VI

ЭНЕРГИЙНЫЙ АКТ, или ПОЛНОЕ ЧИСЛО

(разрешившаяся смысловая заряженность и получающаяся от этого внутренне-внешняя насыщенность определенной совокупности актов этими самыми актамиполагания; внутренно раздельная и определенная совокупность внешне раздельных актов полагания, проявляющаяся и вовне, как такая же внутренно раздельная совокупность, или конкретно-индивидуальное число).

Здесь мы имеем I) до-полагание (которое можно назвать супра-актом), т. е. такое «нечто», которое не положено, не предполагает никакого инобытия и, следовательно, ни от чего не отличается, не содержит в себе  самом антитезы бытия-небытия (утверждения-отрицания) и объединяет в себе все раздельное (ибо во всем  содержится). Этот супра-акт, переходя в самополагание,  вступает во взаимоотношение с инобытием, которому  неоткуда, конечно, взяться, кроме как из этого же супра-акта, и потому необходимо считать, что сам супра-акт из  себя порождает свое инобытие.

Получается II—III) антитеза «этого» — «иного», полагания и не-полагания, или, иначе, акта полагания и акта отрицания. Эти два акта уже связаны взаимно и взаимно предполагаются. Это не супра-акт, который ничему не  противоположен и потому ничего, кроме себя, не предполагает. Взятые в отдельности, эти акты не составляют  числа, но они входят в него с такой же необходимостью,  как и супра-акт.

Супра-акт осуществляет в натуральном ряду чисел его  как бы общую субстанцию, ту единую и нераздельную  плоскость, на которой этот ряд развертывается. Супра-акт есть скрепа всего натурального ряда и скрепа каждого отдельного числа, держа входящие в это число  единицы в одной связке, как одну идеальную индивидуальность. Супра-акт связывает и отдельные единицы,  входящие в число, в одно индивидуальное число и связывает все числа натурального ряда в один индивидуальный, определенным образом построенный ряд чисел.  Число «десять» состоит из десяти единиц, но нельзя это  «состоит» понимать внешне механически. Одна единица  не есть десять единиц, и другая единица тоже не есть  десять единиц, так же третья, четвертая и т. д. Спрашивается: как же из нескольких единиц вдруг появилось нечто  совершенно новое и небывалое, совершенно новое число— «десять»? Ясно, что это «десять» есть некая определенная индивидуальность и в пределах десяти единиц она  определяет собою все десять отдельных единиц, равномерно и абсолютно одинаково присутствуя в каждой  такой единице и тем самым объединяя их в нечто совершенно неделимое и абсолютно индивидуальное — в число  «десять». Точно так же абсолютное самотождество супра-акта смыслового полагания делает впервые возможным  существование и многих таких отдельных единичностей,  т. е. существование натурального ряда чисел. Без такого  перво-принципа ни одно число, входящее в натуральный ряд, ни в каком отношении не было бы соизмеримо ни  с каким другим числом этого ряда. Без этой абсолютной  числовой единичности натуральный ряд рассыпался бы  на отдельные числа, несравниваемые одно с другим,  а числа — на отдельные единицы, также одна с другой несравниваемые и абсолютно взаимно дискретные.

Противоположность утверждения и отрицания, вырастающая на лоне супра-акта, развертывает этот супра-акт, конкретизирует его, дает ему разумность и раздельность, превращает из потенциального в реальный акт  смыслового полагания. Однако ясно и то, что такая  противоположность не может оставаться абсолютной,  без всякого примирения и воссоединения с изначальным  супра-актом. Она примиряется в IV) новом синтезе, который в отношении супра-акта оказывается уже развернутым синтезом и который, как мы видели, именуется  становлением (его можно назвать также инфра-актом,  поскольку здесь мы имеем ослабленное полагание, полагание не раздельных и четких актов, но размытое, безразличное, чисто становящееся полагание). В процессе становления утверждение и отрицание, «это» и «иное», бытие  и небытие вступают во взаимосвязь и взаимоотношение.  Само становление обеспечивает собою рождаемость бесконечного натурального ряда чисел из недр супра-акта,  а эта взаимосвязь утверждения и отрицания определяется  вполне специальной системой категорий, из каковой вытекает характер и каждого отдельного члена натурального ряда чисел. Каждый отдельный член ряда, т. е. каждое  отдельное число, есть уже остановившееся становление,  или то, что в диалектике называется ставшим. Это то,  что не раньше акта полагания, а позже его, когда он  синтезировался с актом отрицания и сам в себе определился.

Этот пятый момент — V) момент ставшего в числе  впервые делает возможным превратить неопределенную  совокупность актов полагания в нечто оформленное  и определенное. Наличие акта полагания и отрицания,  ин-акта и контр-акта, ровно ничего не говорило нам ни  о какой совокупности актов. Это была пустая и неопределенная возможность различать акты вообще. С переходом в становление, в инфра-акт, мы превратили эту  неопределенную возможность в некую реальность, т. е.  перешли к ряду раздельных полаганий. Тут уже не просто  возможность реальных актов, но и самые акты. Однако,  как ни реальны они и как ни отличаются они друг от  друга, самое становление этих внешне взаимно различных актов совершенно ничего не говорит о них как об  определенной совокупности, совершенно не полагает никакой границы для целого ряда актов. Акты тут отличны  один от другого, и их разделяют четкие границы. Но ряд  таких актов, совокупность этих актов, здесь еще не имеет  определенной ограниченности, не отграничена от всякой  другой совокупности. А ведь число есть прежде всего  некая определенная совокупность единиц; и если мы хотим дать логическую конструкцию числа, мы должны  дать прежде всего конструкцию числа как некоей совокупности. Ставшее становление и есть принцип, отграничивающий одну совокупность от другой, ибо оно есть  остановившееся становление: мы совершали различные  акты полагания, а потом вдруг остановились, не пошли  дальше, запретили себе дальнейшее становление. И это  положило границу нашим полаганиям и впервые превратило неопределенный ряд полаганий в цельную, определенную и замкнутую совокупность. Возможно ли число  без этого? Конечно, нет. Число и есть прежде всего некая  замкнутая совокупность.

На этом, однако, не кончается диалектическая эволюция нерасчленимого, перво-сущего супра-акта.  В «ставшем» содержится статика, которая отнюдь не характерна для числа в целом. Статический момент  в нем есть только один из моментов. Исходным моментом, и даже не моментом, а рождающим, и притом  вечно рождающим, лоном является для числа супра-акт,  который объединяет в себе и эманирует из себя всю  бесконечность разных чисел и даже бесконечность этих  бесконечностей. Таковым же должно явиться и каждое  отдельное число, если оно действительно несет на себе  печать своего происхождения из такого первоисточника.  К этому же ведет чисто логическая — диалектическая —  необходимость. Если синтезом утверждения и отрицания  явилось становление, становящаяся граница, а эта становящаяся граница предполагает нечто не-становящееся,  т. е. ставшее, то ставшее, чтобы получить для себя  необходимое диалектическое оформление, также должно  противопоставить себя тому, что его отрицает, с тем  чтобы потом вступить с этим последним в живой  диалектический синтез. Противоположно ставшему не-ставшее, но такое не-ставшее, которое не просто свободно от всякого становления и ставшего (это было бы  характерно для гораздо более ранних категорий), но свободно только от самого факта становления, не от его  смысла. Должна быть такая категория, которая содержит  в себе и становление и ставшее, но — идейно, в форме  чистого смысла, так что от данного бытия как бы распространяется смысловая атмосфера его становления, оно  как бы разрисовывается текучими, но сущностными формами бытия, превращаясь в некую текучую сущность.  Это и есть то, что мы называем энергией, тем внутренним  содержанием смысла бытия, которое, оставаясь чистым  смыслом, изливается вовне, являя внешне таинственную  жизнь внутренних недр бытия.

В применении к числу этот VI) момент, энергийный  момент, сказывается очень ярко. Число есть совокупность единиц, четко разделенная внутри себя и четко  разделенная со всякой другой совокупностью. Но мы тут  не только что-то построили и потом забыли о построенном. Мы еще и пользуемся этой постройкой. Мало  указать пределы для актов полагания и тем ограничить  полученную совокупность извне и изнутри. Число есть  то, что совершается в этих пределах, жизнь, совершающаяся в этом организме. До сих пор мы построили  только скелет числа. Замкнутая совокупность раздельных  единиц, являющаяся данным числом, есть только скелет  числа, смысловой контур числа. Число есть конкретная  индивидуальность актов полагания, в то время как самые  акты, в их становлении и в их ставшести, есть только  субстанция, голая и бездушная телесность числа, материальная сделанность числа, а не его живой лик и не его  живые и жизненные функции. Ставшее становление акта полагания должно начать функционировать как таковое,  чтобы получилось настоящее число. Мы не только тут  находимся в процессе лепки из глины какой-нибудь статуи, но мы уже ее вылепили, поставили на место, отошли  несколько в сторону, чтобы обозреть ее в целом, и вот  тогда статуя действительно становится для нас статуей.  В синтезированной совокупности десяти актов полагания  мы должны найти внутреннюю и внешнюю жизнь, не  только одну сконструированность как таковую. Внутри  эти единицы могут быть бесконечное количество пробегаемы нашим умственным взором вперед и назад;  мало того, этих единиц должно быть не десять, а сколько  угодно, вполне неисчислимое количество, и они могут,  кроме того, до бесконечности приближаться одна к другой. Вовне эти единицы должны быть способны к бесконечному увеличению в своем количестве и к бесконечным  вариациям и комбинациям по форме своего объединения.  Иначе не будет и десятки. Десятка—это то, что можно  превратить и в 9, и в 11, и в любое число, любого вида  и любой величины. Вот это-то и значит, что число есть  смысловая энергия акта полагания.

Супра-акт сам по себе не создает числа; полагание  акта, равно как и отрицание его, также не создает числа;  то же и становление, как и ставшее. Но, вступая в диалектическое взаимоотношение, все эти моменты создают именно число, потому что только в их всецелой объединенности заключается настоящая жизнь числа. Супра-акт  осуществляется, полагает себя, окружаясь инобытием, от  которого он себя отличает,— тут еще нет числа. Но вот,  отличивши себя от инобытия, от своего отрицания, он  отождествляется с ним, вступает в единое и цельное  самотождество как в некую смысловую эманацию жизни,— и здесь зарождается наконец число» [71] .

Итак, опираясь на представленный выше материал, а также и прежде всего на его глубокое самостоятельное осмысление, которое безусловно потребует и должно потребовать серьёзной работы, необходимо совершить следующий шаг: попробовать представить, уяснить и в конце концов понять логику появления-рождения и развития числа как некоторой абсолютной абстрактной символической формы, которая появляется в результате движения (оформления) содержания, того истинного, аформального и трансформального (абсолютного) числа, о котором мы говорили выше.    

Вспомним для начала, что такое т.н. мнимое, или комплексное число.

«Комплексные числа, — расширение множества вещественных чисел […], обычно обозначается . Любое комплексное число может быть представлено как формальная сумма x + iy, где x и y — вещественные числа, i — мнимая единица.

Комплексные числа образуют алгебраически замкнутое поле — это означает, что многочлен степени n с комплексными коэффициентами имеет ровно n комплексных корней (основная теорема алгебры). Это одна из главных причин широкого применения комплексных чисел в математических исследованиях. Кроме того, применение комплексных чисел позволяет удобно и компактно сформулировать многие математические модели, применяемые в математической физике и в естественных науках — электротехнике, гидродинамике, картографии, квантовой механике, теории колебаний и многих других» [72] .

Несмотря на очевидность и простоту выражения отношения вещественных и комплексных чисел, логика этого отношения – это не очевидная и точно не банальная логика для абсолютного большинства человеческих сознаний, в том числе и математических.

Дабы ощутить это зададимся вопросами, на которые пытались и продолжают пытаться и сейчас ответить математики: «Каков смысл мнимых чисел? Как их можно и главное – нужно интерпретировать?»

 Причем речь не о так сказать собственно формально и абстрактно-математической, а о чисто необходимо-логической интерпретации, такой, что становится непосредственно-наглядной связь и отношение т.н. «вещественных» и т.н. «мнимых» чисел, как некоего единого движения подчиненного единому закону.

Иными словами, мы должны выйти на необходимое основание и выявить логику своего рода рассматриваемых числовых форм самообоснования чисел, показав, как число своим собственным действительным движением превращается из т.н. действительно-вещественного в т.н. комплексное.    

Известная интерпретация комплексных чисел как точек или векторов на плоскости, т.е. интерпретаций вида (a,b) и соответствующих правил манипуляции с числовыми значениями этого искусственного математического комплекса,  являет собой некую удовлетворяющую математиков математическую форму и не более.

Привычная форма действительного числа («a») и числа комплексного (a,b) или  a + ib, где a и b — вещественные числа, i — т.н. мнимая единица, представляющая собой с точки зрения обычных чисел нечто совершенно невразумительное, призрачное, и воистину мнимое – квадратный корень из «минус единицы»: . [73]

Очевидность наличия прогрессии: линия – плоскость – пространство… в связи с числовой определенностью числа, т.е. действительные числа – это числа так сказать «линейные», которые определены на числовой прямой, комплексные – числа на плоскости («плоскостные числа»), гиперкомплексные – «пространственные числа» себя не оправдало. А если и оправдало, то с весьма существенным ущербом потери так сказать числовой идентичности, иначе и конкретно говоря  – умножение кватернионов некоммутативно.

«Коммутативная операция — это бинарная операция , обладающая коммутативностью (от позднелат. commutativus — «меняющийся»), то есть переместительностью:   для любых элементов » [74] .

Суть проблемы, если её видеть, в следующем:

«Почему, свободно манипулируя символами так, как если бы они были натуральными числами, мы получаем верные результаты и в том случае, если вместо символов подставляем вещественные или комплексные числа? Это происходит потому, что вещественные и комплексные числа обладают такими же формальными свойствами, что и натуральные числа. Если не гнаться за строгостью, то можно сказать, что верно не только равенство 2•3=3•2, но и равенство

Иначе говоря, ab можно заменить на bа независимо от того, означают ли α и b натуральные или иррациональные числа.

Весьма примечательна последовательность, в которой развивались события. Вместо того, чтобы, начав с целых чисел и дробей, перейти к иррациональным и комплексным числам, алгебре и математическому анализу, ученые решали проблему обоснования математики в обратном порядке. Они действовали так, будто крайне неохотно затрагивали проблемы, которые, как всем было ясно, можно было до поры до времени обходить стороной, и принимались за обоснование лишь в тех случаях, когда это вызывалось настоятельной необходимостью. Как бы то ни было, в 90-е годы XIX в., через каких-нибудь шесть тысяч лет (!) после того, как египтяне и вавилоняне «пустили в оборот» целые числа, дроби и иррациональные числа, математики смогли наконец доказать, что 2+2=4. Стало ясно, что даже великие математики должны заботиться о математической строгости» [75] .

Итак, для кватернионов в отличие от обычных чисел (действительных и комплексных) «a» умножить на «b» не равно «b» умножить на «a».

Создателем кватернионов был Гамильтон и именно он, к слову, сделал первый шаг к формально-логическому обоснованию действительных и комплексных чисел:

«Первый шаг к логическому обоснованию вещественных и комплексных чисел был сделан в 1837 г. создателем кватернионов Гамильтоном. Гамильтон знал, что комплексные числа можно использовать для представления векторов на плоскости, и пытался найти (гл. IV) числа с тремя единицами, которые могли бы служить представлением векторов в пространстве. Гамильтон стал изучать свойства комплексных чисел с тем, чтобы обобщить их. Одним из результатов, изложенных в его работе «Алгебраические пары, с предварительным очерком о времени», было логическое обоснование комплексных чисел, при построении которого Гамильтон, однако, считал свойства вещественных чисел общеизвестными. Вместо комплексных чисел  Гамильтон ввел упорядоченные пары (а, Ь) вещественных чисел и определил операции над этими парами так, чтобы результаты совпадали с результатами операций, производимых над комплексными числами . Следует заметить, что Гамильтону пришлось создавать новую теорию комплексных чисел, поскольку для него, как и для всех его предшественников, были неприемлемы не только символ , но до какого-то времени и отрицательные числа.  Позднее в одной из своих работ Гамильтон писал:

Настоящая теория пар опубликована, дабы продемонстрировать скрытый смысл [комплексных чисел] и показать на этом примечательном примере, что выражения, которые все считали чисто символическими и не допускавшими интерпретации, входят в мир идей, обретая реальность и значимость,

Далее в той же статье говорится следующее:

В теории отдельных чисел символ  лишен всякого смысла [курсив Гамильтона] и означает невозможное извлечение корня, или мнимое число, но в теории пар тот же символ  обретает смысл и означает возможное извлечение корня, или вещественную пару, а именно (как мы только что убедились) главное значение квадратного корня из пары ( — 1, 0). Следовательно, знак  может быть надлежащим образом использован во второй теории, но отнюдь не в первой, и мы можем, если угодно, написать для любой пары (α₁, α₂)

... и интерпретировать символ  в том же выражении как обозначающий вторую единицу, или чисто вторичную пару (0, 1).

Так Гамильтон убрал то, что он назвал «метафизическими камнями преткновения» в системе комплексных чисел.

В свою теорию пар Гамильтон включил и свойства вещественных чисел — пар вида (а, 0). В работе от 1837 г. он попытался логически обосновать систему вещественных чисел. Исходя из понятия времени, Гамильтон вывел свойства положительных целых чисел, а затем распространил эти свойства на рациональные (положительные и отрицательные целые числа и дроби) и иррациональные числа. Но развитая Гамильтоном теория была логически весьма несовершенна и особенно несостоятельна во всем, что касалось иррациональных чисел. Она была не только неясно изложена, но и неверна. Математический мир вполне справедливо просто не заметил эту работу Гамильтона. Интерес Гамильтона к обоснованию вещественных и комплексных чисел был ограниченным. Истинной целью его исследований были кватернионы. Но когда Гамильтону случалось работать в области математического анализа, он, подобно большинству своих современников, без малейших колебаний свободно оперировал свойствами вещественных и комплексных чисел» [76] .

Попробуем подойти к осознанию истинной числовой сущности «мнимости», ответив на необычный, и кажется, не совсем математический вопрос: «В каком направлении всегда и неизменно простирается пространство мнимых чисел по отношению действительному числовому пространству?»

Иная, уточняющая и существенно снимающая патину привычности восприятия пространства формулировка этого же вопроса: «В каком направлении простирается четвертое измерение?»

«Патина привычности» – суть, как правило, не осознаваемое сугубо формальное отношение  пространственных форм, например, линейной и плоскостной, как совершенно независимых и не сводимых друг к другу.

«Линия получается, является результатом движением точки…»

«Плоскость является результатом движения линии…» [77]

«Пространство – результат движения плоскости…»

Эти и подобные этим банальности, являющие собой типичность сугубо формального видения математических, в данном случае геометрических форм как раз скрывают и отвлекают и не позволяют увидеть кое-что поистине удивительное.

Ответим, наконец, на поставленный выше вопрос: «В каком направлении всегда и неизменно простирается пространство мнимых чисел в отношении числового пространства действительных чисел?»    

Ответ скорее всего покажется странным. И к тому же будучи услышан, будет не очень понятен, непонятен, скорее всего, настолько, что последующие ряд страниц посвящены подробному рассмотрению смысла ответа, ведь ответ: внутрь точки.

Отдадим также себе отчет в том, что чисто формальное, и по сути отвлеченное и формально-аксиоматическое определение прямой, как чего-то, являющегося движением «точки», или по-евклидовски, например, «не имеющего толщины» или просто существующего как геометрический объект вида «прямая» уже неявно предполагает существование некоего пространства, в котором осуществляется такая геометрическая игра с готовыми и неименными и видимо по этой причине неопределяемыми  фундаментальными формами.

Эти формы известные уже более двух тысяч лет: «точка», «прямая» «плоскость», «окружность» и т.д., которые обладают некоторыми свойствами или качествами, выводимые или тоже являющиеся неопределяемыми, например, «быть (существовать)», «быть параллельными», «пересекаться (иметь общую точку)», «быть перпендикулярным», и пр..

Данность трехмерности, впитываемая человеком с первых часов его появления на свет, продолжает играть с ним, если и не совсем и не всегда злую, то точно шутку.

Именно трехмерный мир и его формы становится познавательным основанием на котором и выстраивается индивидуальное здание человеческого знания. И все такого рода строения кажутся вполне надежными и даже достойными подражания или порой восхищения.

До некоторого момента.

Определенность прямой, трактуемая как её неопределенность и аксиоматическая фундаментальность трактуется именно как некая абстрактная и не требующая доказательства очевидность того, что мы можем видеть буквально на каждом шагу в своей жизни. «Прямая» потому является некоей абстрактной прямизной, точнее идеей такой прямизны, реальность которой нет необходимости как-то обосновывать.

И усвоенная каждым традиция формального обоснования действенна и не дает осечек до момента, когда трехмерность становится уже недостаточным основанием, т.е. является основанием формальным.

Такое происходит и в случае, когда требуется внятно и однозначно указать направление т.н. четвертого измерения.

Перебрав в уме все мыслимые варианты, которые есть лишь многообразие комбинаций форм представимого, человек, как правило, сдается или утверждает, что такого направления просто не существует, или в качестве своеобразного ухода от ответа утверждает, что такого направления – не существует для нашего трехмерного мира.

Существует и более того, логика рождения каждого нового измерения одна, это логика рефлексии единого необходимого основания, т.е. трансформальная логика, логика единства, логика перехода противоположного друг в друга через самого себя.

Представим кое-какую формальную аналогию, поясняющую в каком направлении простирается перпендикуляр, восстановленный к нашему трехмерному пространству.

Оттолкнемся от очевидного, то есть наглядного.

Пусть, например, вещественное число любого рода «а» как точечная составляющая линейного континуума числовой оси раскрывается относительно себя самого как абстрактной общей числовой формы в виде известного представления т.н. комплексного числа: с=а+ib.

Иными словами вещественное число есть комплексное число, мнимая часть которого равна нулю: b=0.

Обратим внимание, что мы сейчас оперируем двумерным пространством, символическое формальное определение которого включает в себя одномерное в качестве своего предельного случая, т.е. при стремлении вещественной переменной «b» к нулю (b→0) комплексное числовое пространство становится вещественным.

  Поскольку у нас есть в наличии предельный переход, и область «мнимости» как сугубо комплексная область обладает рядом интересных свойств, предположим, что эти свойства едины для всех мнимых чисел любой мерности:

«…мнимая величина есть в диалектическом смысле выразительная величина и что вещественная величина, перейдя в мнимость, тем самым получает свое выражение, поскольку мнимость представляет собою наличие в данном измерении перехода в следующее измерение без нарушения, однако, прав первого измерения» [78] .

И ещё:

«… сколько бы измерений мы ни брали, всегда, когда зайдет речь о переходе одного пространства на другое, мы должны будем прибегать к помощи мнимых величин. Ясно: мнимая величина есть отображение в данном вещественном измерении какого-нибудь другого измерения. Данная вещественная величина получает здесь некое новое смысловое оформление, получает внутреннюю перспективу, некий смысловой рисунок, фигурность, не зависящую от того, что мы двигались внутри этой величины, ибо, пока мы были там внутри, мы не могли видеть ее внешнего контура и фигуры и самое большое — это могли только двигаться там в разных направлениях, т. е. устанавливать фигурность ее внутреннего содержания, а не фигурность ее вообще. Теперь мы взяли эту внутреннюю представленность величины, отошли от нее на некоторое расстояние и тем самым наметили возможность зафиксировать эту величину уже как таковую, со всей ее величии[н]ной фигурностью, на фоне окружающей действительности. Взять внутреннюю представленность величины из самой величины — это значит взять отрицательную единицу. Отойти от величины на некоторое расстояние, чтобы ее видеть,— это значит отличить ее от того, что ее окружает, т. е. перейти в отношении ее в сферу алогического становления, т. е. в новое измерение. И наконец, находясь в этом новом измерении, обратить взоры на покинутую величину, с тем чтобы ее увидеть, т. е. с тем чтобы определить тот исходный пункт, который лежит в основе самой ее представленности,— это значит извлечь квадратный корень из отрицательной единицы» [79] .

Пусть точка комплексной плоскости совершает линейное движение изменением вещественной переменной в своей мнимой части:

с = a + bi, где b последовательно принимает действительные значения из диапазона (0, 10).

Итак, точка перемещается в плоском комплексном пространстве, двигаясь, как мы можем видеть, из своего двухмерного пространства –  в его «глубину».  

Изменяется ли при этом линейная вещественная координата?

По определению – нет.

Таким образом, точка, обращаем внимание, одновременно принадлежа (в рассматриваемом случае) двум пространствам – и линейному, и плоскостному – движется, но… остается  неподвижной, или если переформулировать: «находится в данной точке и не находится в ней», причём, внимание! – даже в случае полной неподвижности относительно «вещественного» линейного координатного пространства.

 Относительно вещественного координатного основания, которое является одной из форм-проекций комплексного плоского числового поля, точка неподвижна. Относительно мнимой оси, также являющейся формой комплексного пространства – точка движется.

Казалось бы, на первый и неискушенный взгляд имеется два несвязанных и независимых друг от друга основания и таким образом классического диалектического противоречия, в данном случае противоречия движения – нет.

Но так ли это?

Дело ведь как раз в том, в каком смысле, как следует понимать «движение в комплексном плоском пространстве».

Если «понимание», так и не поднимаясь с уровня простого представления, то есть следует декартовской формализующей традиции, и интерпретирует единое комплексное пространство лишь как форму двух независимых линейных пространств, которые пересекаются под углом π/2 (прямым углом) и точка пересечения является «началом координат», то никаких проблем с противоречивостью действительно нет, и нет именно потому, что движение рассматривается относительно двух различных оснований, т.е. единого отношения нет, есть различные формальные отношения.

И, обратим также внимание, что именно эти два формальных основания [80] , которые и образуют т.н. «декартову систему координат» являются причиной существования плоского числового поля, а не наоборот.

Но первичным [81] , потому что единым является именно плоское пространство и точки его образующие, и каждой точке может быть поставлена в соответствие некоторая пара чисел, являющихся проекциями единой координаты точки на числовые оси, первая из которых является т.н. «действительным» числом, а вторая – «мнимым».

Эта методологическая тонкость чрезвычайно важна, ибо позволяет видеть суть формализации, расчленяющей единое на части и рассматривающей затем полученные части в качестве двух различных и независимых форм.

Но хотя формы-проекции и есть, но они исходя из трансформ-логики вовсе не независимые, во-первых, а во-вторых, именно их различие, а именно формальность различия – говорит об их единстве!

Внимательно вдумываемся в то, что представлено далее.

Во-первых, все формы, как и их отличие друг от друга – мнимы, иллюзорны, и потому можно и нужно утверждать, что они в своём роде ненастоящие – они в прямом смысле лишь проекции, они тени истинного – и их ни в коем случае нельзя рассматривать как нечто самодостаточное и соответствующее действительной реальности именуемой Истиной, которая едина для всех форм и является их источником и условием существования;

во-вторых, формы именно своей формальностью и относительностью показывают и доказывают необходимость существования абсолютного, абсолютной формы всех форм;

в-третьих, форма Абсолютного не может не быть охваченным познающим субъектом пределом, границей  чего-то, что существуя как Целостность Единства Бесконечномерного Пространства, в качестве своего необходимого основании должна иметь своё противоположное – Множественность конечномерных пространств, кажущихся полностью формально независимыми друг от друга.

Ум, воспринимающий некоторую форму исключительно как лишенную внутреннего движения форму, ум, которому недоступны тот или иной уровень мерности и соответственно качественности-всеобщности познаваемого объекта или явления, ум не способный отразить в себе, представлять и видеть в высших пространствах качеств в их взаимной связи и функциональном отношении, который способен лишь фиксировать, как ему кажется независимые друг от друга формы проекции, не понимая, что это проекции единого, будет в лучшем случае утверждать простую и привычную формально-логическую противоречивость увиденного и помысленного собой.

И такой ум является носителем стандартно-формальных взглядов на предметы и явления мира, в котором обитает.

Но к счастью известны, и как ни странно хорошо известны единичные примеры того как из форм-проекций можно собрать нечто единое и по этой причине истинное.

Семантический аспект такой сборки, то есть оперирования в многомерности семантического пространстве многим знаком в виде притчи о слоне и трех слепцах [82] .

Трем слепцам которые никогда не видели слонов и не знают, что они есть такое, дали возможность ощупать новый для них предмет познания.

Одному достался хобот, другому – уши, третьему – ноги. После этого у каждого спросили, что же такое «слон».

Первый сказал, что «слон» напоминает большую змею; второй утверждал, что «слон» это нечто плоское и мягкое, а третий был уверен, что «слон» напоминает колонны…

Оказалось, что если воспринимать и понимать каждую из проекций-форм «слона» как совершенно обособленные и тем более единственные, то можно прийти к достаточно искаженному восприятию и пониманию предмета… [83]  

Второй пример непосредственно подходит и примыкает к понятию многомерности некоторого целого и единого, но ограничивается его трехмерностью и представляет противоречивость отношения «единое-множественное» в векторной форме, что вовсе не мешает сделать соответствующие выводы и показывает, что математическая идея единого и его форм, что называется давно и настойчиво «витает в воздухе», а если выразиться точно «мыслеформа понимания формы некоторого единого как одной из его проекции давно присутствует в ноосфере и улавливается самыми чуткими сознаниями».

 Академик [84] Б.В. Раушенбах «Логика троичности».

Перед тем, как привести ряд фрагментов из указанной статьи, несколько слов.

Мы, разумеется, не утверждаем и не собираемся утверждать истинность христианской догмы о троичности «Бога», как эту истинность понимают сами церковники.

Христос (Иисус из Назарета) вовсе не был единственным «сыном божьим», были до Него, будут и после. Более того, «божье сыновство» вовсе не является и не может являться качеством, принадлежащим  лишь Избранным представителям Рода Человеческого. Миссия таких Представителей была бы совершенно бессмысленной и провально, если бы те, ради кого они творили и страдали не были бы уже сынами и дочерьми божьими – т.е. отпрысками, «детьми» Высшего, или, как ранее уже было сказано, даже «детьми-богами»,  правда ещё очень духовно неразумными по причине своего младенчества-малолетства.

Итак, речь идёт просто о логике понимания «единого» как того, что как мы уже знаем должно иметь своим необходимым диалектическим основанием ряд своих форм-проекций, то есть быть  «множественным». Таким образом, мы очень и очень далеки от различного рода высказываний в отношении рассматриваемой нами статьи, которые больше профанируют Великую Истину Единства Науки и Религии, чем утверждают её:

«...Раушенбах, поднявшись туда, куда долететь можно лишь на крыльях ума, души и духа, показал, что человеческое знание едино. Да нет, не показал – математически доказал, что наука и религия описывают одну и ту же картину мира. Его статья "Логика троичности", опубликованная в третьей книжке "Вопросов философии" за 1993 год, сокрушила атеистическую догму, не оставив камня на камне от "примата материи"». [85]

Кроме того, статья весьма интересна совокупностью поднимаемых и раскрываемых параллельно вопросов. Например, вопросом о том, что истина необходимо обладает качеством антиномии (демонстрируемой позицией о. Павла Флоренского). В качестве критики можно сказать, что трактовка или интерпретация Раушенбахом взгляда П.Флоренского можно считать довольно поверхностной [86] .

Итак, "Логика троичности".  

«Догмат о Пресвятой Троице является одним из центральных в христианстве. Как известно, его становление было связано с борьбой различных богословских точек зрения, в конце концов приведшей к единому мнению. Это мнение удалось сформулировать в виде догмата, нашедшего свое выражение в никео-цареградском Символе веры.[…]

Размышления о триединости вызвали целый поток недоумении, сомнений и ересей. Человеческий ум всегда стремится понять высказываемое утверждение. "Понять" означает включить это утверждение в совокупность истин, подтверждаемых повседневной человеческой практикой, в конечном счете согласовать его с рациональной формальной логикой. Кажущаяся несогласованность догмата с формальной логикой толкала многих на еретические построения.

Здесь не место обсуждать возникавшие в течение столетий недоумения и ереси, об этом можно узнать из истории Церкви. […]

Возвращаясь к Троице, можно сразу утверждать, что Лица в ней не просто сосуществуют, а взаимодействуют — Сын и Св. Дух связаны с Отцом рождением и исхождением, и уже поэтому элементарные рассуждения Е.Н. Трубецкого могут оказаться ошибочными [87] .

… будем искать в математике объект, обладающий всеми логическими свойствами Троицы и если такой объект будет обнаружен, то этим самым будет доказана возможность логической непротиворечивости структуры Троицы (отсутствие в ней каких-либо антиномий) и в том случае, когда каждое Лицо считается Богом. Это связано с тем, что вся математика построена на законах формальной логики. Метод, который здесь будет использован, сводится, как видно из сказанного, к доказательству изоморфности (обладания одинаковой логической структурой) Троицы и некоторого математического объекта. Прежде чем приступить к этой операции, надо четко сформулировать логические свойства Троицы. Они, безусловно, хорошо известны, но здесь их необходимо сгруппировать вместе и уточнить.

1. Триединость. Это свойство совершенно очевидно, оно говорит о том, что единый Бог и Троица одно и то же.

2. Единосущность. Здесь утверждается, что три Лица Троицы имеют одинаковую Друг с Другом сущность. Иногда (об этом уже говорилось) эта сущность определяется как Божеское достоинство. […]

3. Нераздельность. […]

4. Соприсносущность. Это свойство пришлось специально оговорить, поскольку в погоне за тем, чтобы сделать догмат о Троице "понятным", родилась ересь модализма. […]

5. Специфичность. Указанное свойство странным образом обычно не подчеркивается, возможно потому, что кажется очевидным. Однако, анализируя логику троичности, его следует сформулировать и обязательно учитывать при поиске подходящего математического объекта, который еще предстоит провести. Суть этого свойства сводится к тому, что, несмотря на единосущность, три Лица не сводимы друг к другу, а каждое обладает своей спецификой. […]

Прекрасно понимая неуместность такого термина, рискну сказать, что каждое Лицо Троицы выполняет свою "работу", не свойственную другим Лицам.

При желании последние два свойства — соприсносущность и специфичность — можно было бы объединить в одно: неслиянность (неслиянность Лиц и неслиянность их действий). […]

6. Взаимодействие. Как уже говорилось, три Лица находятся в предвечном взаимодействии, о котором нам известно лишь то, что сын рождается, а Св. Дух исходит от Отца. […]

Математический объект, полностью соответствующий перечисленным шести свойствам, действительно существует и широко используется в математике, механике, физике и других аналогичных науках. Это самый обычный вектор с его тремя ортогональными составляющими. Для определенности будем считать этот конечный вектор имеющим начало в ортогональной системе декартовых координат, а его составляющие направленными по осям. Оценим, насколько точно его логические свойства соответствуют одноименным свойствам Троицы.

1. Триединость. Она почти очевидна, поскольку сам вектор с одной стороны и три его составляющие с другой — одно и то же. […] Для лиц, знакомых с векторной алгеброй, особо хотелось бы подчеркнуть, что в приведенном рассуждении не используется понятие векторной суммы; при определении триединости это не нужно.

2. Единосущность — тоже почти очевидное свойство, поскольку три составляющие вектора сами являются векторами. Полезно заметить, что никто и никогда не говорил, что это обстоятельство ведет к антиномии.

3. Нераздельность. Каждая составляющая вектора связана с ним абсолютно, поскольку является его векторной проекцией на соответствующую ось. Но тогда они столь же абсолютно связаны и друг с другом, что и является нераздельностью.

4. Соприсносущность. Это тоже очевидное следствие того, что составляющие вектора существуют всегда одновременно и вместе, иначе они не составили бы систему векторов, в любой момент времени полностью эквивалентную исходному вектору.

5. Специфичность … три составляющие вектора принципиально не способны заменить друг друга, что и говорит об их специфичности.

6. Взаимодействие. Взаимодействие составляющих сводится к тому, что они суммируются по правилам векторной алгебры. (В пункте 1 говорилось об эквивалентности монады и триады, здесь же указывается процесс, ведущий к этой эквивалентности.)

Как видно из проведенного анализа, логическая структура Троицы и вектора с его тремя ортогональными составляющими полностью совпадает, что доказывает их изоморфность. […]

У кого-либо может возникнуть впечатление, что векторная модель троичности является еще одной из возможных иллюстраций триединства Бога. Это совершенно не так. … это не модель Троицы, а лишь модель логической троичности, по зато это не иллюстрация, а доказательство (что много больше).[…]

Во многих сочинениях, связанных с Троицей, в частности, в книге о. Павла Флоренского, приводится ряд интересных мыслей о той роли, которую играют триады в пашей жизни. Он приводит примеры пространства (три измерения), времени (прошедшее, настоящее, будущее), указывает на то, что существует три грамматических лица, что жизнь разума тоже троична (тезис, антитезис, синтез). Приводит о. Павел и другие примеры11. Теперь к этому можно добавить, что особую роль в мире играют не только триады, но и триединость, проявляющаяся буквально повсюду.» [88]

И вновь, мы возвращаемся к ключевому в прямом смысле - к математическому ключу к диалектике, который просто и доступно раскрывает внутреннюю структуру логики диалектического отношения: мышление являет собой и всегда имеет своим предметом многомерный объект, который будучи собой и обладая качествами порождаемыми многомерностью, одновременно существует и как непрерывный комплекс форм себя во внутренних и внешних пространствах-проекциях.

Некоторая форма всегда есть некоторая граница.

Некоторая форма есть проекция, где «проекция» является обобщением понятия отношения.

Проекция пуста и «отсутствует» лишь в случае полной, абсолютной прозрачности среды проецирования, прозрачности-однородности объекта и субъекта производящего проецирование и также всех видов эманаций-форм первого и второго, что утверждает их абсолютное единство и абсолютную безграничную, т.е. в пределе лишенную каких-либо границ неразличимость.

И наконец, отсутствие каких-либо границ снимает все формы ограниченности субъекта-объекта и делает его безграничным, что и является определением Свободы.

«Единичное  есть лишь единичное», «данная форма есть данная форма», «точка это точка и более ничего», - утверждает формальное мышление.

«Единичное есть общее», «Общее есть единичное» - утверждает знание непосредственного трансформального видения.

Подведём важный итог нашим рассуждениям цитатой из письма Георга Кантора [89] и её последующим транформальным анализом:

«Все так называемые доказательства невозможности актуально бесконечных чисел являются,— как это можно показать в каждом отдельном случае и заключить из общих соображений,— ошибочными по существу и содержат  в том, что в них заранее приписывают или скорее навязывают рассматриваемым числам все свойства конечных чисел. Между тем, бесконечные числа, если только вообще их приходится мыслить в какой-нибудь форме, ввиду своей противоположности конечным числам, должны образовывать совершенно новый вид чисел, свойства которых зависят исключительно от природы вещей и образуют предмет исследования, а не нашего произвола и наших предрассудков. [90] […]

Если захотеть сгруппировать наглядным образом различные воззрения, высказывавшиеся на протяжении истории по занимающему нас вопросу об актуально бесконечном (которое в последующем обозначается для краткости через а. б.), то для этого представляется несколько точек зрения, из которых ныне я остановлюсь на одной.

А именно а. б. можно рассматривать в трех главных отношениях: во-первых, поскольку оно имеет место in Deo extramundano aeterno omnipotenti sive natura naturante и в этом случае оно называется абсолютным, во-вторых, поскольку оно имеет место in concreto seu in natura naturata, и в этом случае я называю его transfinitum; в-третьих, а. б. можно рассматривать in abstracto, т. е. поскольку оно может быть постигнуто человеческим познанием в форме актуально бесконечного, или, как я назвал это, в форме трансфинитных чисел, или в еще более общей форме трансфинитных порядковых типов .

Если, прежде всего, мы оставим в стороне первую из этих проблем и ограничимся двумя последними, то сами собой появляются четыре различные точки зрения, которые фактически имели и имеют место в прошлом и настоящем. […]

Несмотря на существенное различие понятий потенциальной и актуальной бесконечности,— причем первая означает переменную конечную величину, растущую сверх всяких конечных границ, а последняя — некоторое замкнутое в себе, постоянное, но лежащее по ту сторону всех конечных величин количество,— к сожалению, слишком часто встречаются случаи смешения этих понятий. Так, например, нередко встречающийся взгляд на дифференциалы как на определенные бесконечно малые величины (тогда как они представляют собой лишь переменные произвольно малые вспомогательные величины, совершенно исчезающие из конечных результатов, а потому характеризовавшиеся уже Лейбницем как простые фикции,— см., например, в издании Эрдмана, с 436) [17] основывается на таком смешении. Но если из справедливой антипатии к подобному незаконному а. б. в широких научных кругах под влиянием современного эпикурейски материалистического духа времени образовался своего рода Horror Infiniti [18], нашедший свое классическое выражение в упомянутом письме Гаусса, то связанное с этим некритическое отвержение законного а. б. представляется мне немалым преступлением против природы вещей, которые следует брать такими, каковы они в действительности. Такое отношение можно рассматривать как своего рода близорукость, которая лишает возможности видеть а. б., хотя последнее в своем высшем, абсолютном носителе создало и сохраняет нас, а в своих вторичных трансфинитных формах окружает нас со всех сторон и даже присуще самому нашему духу.

Часто происходит смешение другого рода, а именно двух форм актуально бесконечного, причем смешивается трансфинитное с абсолютным. Между тем эти понятия явно различны в том отношении, что первое следует мыслить, конечно, бесконечным, но все же доступным дальнейшему увеличению, тогда как последнее приходится считать недоступным увеличению, а потому математически неопределимым. С этой ошибкой мы  встречаемся, например, в случае пантеизма, и она образует ахиллесову  пяту этики Спинозы, хотя Ф. Г. Якоби утверждал ее неопровержимость  доводами разума. Можно также заметить, что со времен Канта среди  философов укрепилось ложное представление, будто абсолютное является идеальным пределом конечного, между тем как в действительности  этот предел можно мыслить лишь как некое трансфинитное и притом  как минимум всех трансфинитов (соответствующий наименьшему сверхконечному числу, обозначаемому мною через ω). Кант в «Критике чистого разума» в главе об «Антиномиях чистого разума» оперирует без  серьезной предварительной критической работы понятием бесконечности  при рассмотрении четырех вопросов, стараясь доказать, что на них с  одинаковым правом можно дать утвердительные и отрицательные ответы  L19]. Вряд ли когда-либо — не исключая пирроновский и академический  скепсис, с которым у Канта столь много общего,— что-нибудь так способствовало дискредитации человеческого разума, как этот раздел «критической трансцендентальной философии». При случае я покажу, что  лишь благодаря смутному неотчетливому употреблению понятия бесконечности (если еще можно говорить о понятиях при подобных обстоятельствах) этому автору удалось вызвать серьезное отношение к его антиномиям и к тому же только у тех лиц, которые, подобно ему, предпочитают уклоняться от основательного математического рассмотрения  подобных вопросов [1].

[…] Точно так же я должен отклонить, как неудачное, сопоставление с Гегелем. Пантеист Гегель не знает никаких существенных различий в а. б. Для моих же воззрений характерны именно подобные различия, которые я нашел, резко подчеркнул и строго математически развил благодаря открытию коренной противоположности между «мощностью» и «порядковым числом» множеств, что, по-видимому, совершенно проглядел г-н Вундт, хотя она встречается почти на каждой странице моих работ. Столь же мало сходства имеют мои исследования с «метаматематическими» исследованиями, с которыми их все же ставит на одну доску г-н Вундт. Неустойчивость в определении понятий и связанная с нею путаница, занесенная впервые около века тому назад с далекого востока Германии в философию, нигде не обнаруживается столь ясно, как в вопросах, относящихся к бесконечности: это ясно видно из бесчисленных как критицистических, так и позитивистских, как психологических, так и филологистических работ теперешней философской литературы».

Начнём с конца цитаты:

«Точно так же я должен отклонить, как неудачное, сопоставление с Гегелем. Пантеист Гегель не знает никаких существенных различий в а. б. Для моих же воззрений характерны именно подобные различия, которые я нашел, резко подчеркнул и строго математически развил благодаря открытию коренной противоположности между «мощностью» и «порядковым числом» множеств…»

И здесь с Г.Кантором никак нельзя согласиться. «Пантеист» Гегель знает бесконечное число различий в «актуальной бесконечности», ибо понимает, что такое есть конечное, в отличие от всех иных, для которых понятие бесконечное лишь формальная абстракция.

«Единственное, к чему я вообще стремился и стремлюсь в своих философских изысканиях, — это научное познание истины. Такое познание является наиболее трудным путем, но только этот путь может представлять интерес и ценность для духа, если этот последний, однажды вступив на путь мысли, не впал в суетность, а сохранил неустрашимую волю к истине. Он вскоре находит, что только метод в состоянии обуздывать мысль, вести ее к предмету и удерживать в нем. Впоследствии обнаруживается, что такой методический путь сам есть не что иное, как воспроизведение того абсолютного содержания, от которого мысль сначала порывалась уйти и уходила; но это воспроизведение в глубочайшей, свободнейшей стихии духа.[…]

Мнение, будто философия находится в антагонизме с осмысленным опытным знанием, разумной действительностью права и простодушной религией и благочестием, это мнение является скверным предрассудком. Философия признает эти формы и даже дает им оправдание. Мыслящий ум не только не отвращается от их содержания, а углубляется в него, учится и укрепляется на них, как и на созерцании великих явлений природы, истории и искусства, ибо это богатое содержание, поскольку оно мыслится, и есть сама спекулятивная идея. Коллизия между этими формами и философией наступает только тогда, когда они выходят за свойственные им пределы, облекают свое содержание в категории и делают содержание зависимым от последних, не доводя их до понятия и не завершая их в идею.[…]

… идея спекулятивной философии принимается в ее абстрактной дефиниции, причем либо полагают, что всякая дефиниция должна сама по себе выступать в качестве ясной и завершенной и иметь свой критерий и пробный камень только в заранее принятых представлениях, либо по меньшей мере не знают, что смысл, равно как и необходимое доказательство дефиниций, содержится только в ее развитии и в том, что она является результатом этого развития. Так как идея есть вообще конкретное, духовное единство, а рассудок состоит в понимании определений понятия лишь в их абстрактности и, следовательно, в их односторонности и конечности, то это единство превращается представителями рассудочного мышления в абстрактное пустое тождество, в тождество, в котором, следовательно, не существует различия, а все есть одно и то же, в том числе добро и зло. Название система тождества, или философия тождества, сделалось поэтому общепринятым для обозначения спекулятивной философии» [91] .

Вспомним ещё раз, что есть спекулятивная философия:

«Отсюда видно отношение спекулятивной науки к другим наукам. Она не отбрасывает в сторону эмпирического содержания последних, а признает его, пользуется им и делает его своим собственным содержанием: она также признает всеобщее в этих науках, законы, роды и т. д., но она вводит в эти категории другие категории и удерживает их. Различие, таким образом, состоит лишь в этом изменении категорий. Спекулятивная логика содержит в себе предшествующую логику и метафизику, сохраняет те же самые формы мысли, законы и предметы, но вместе с тем развивает их дальше и преобразовывает их с помощью новых категорий.

Нужно различать между понятием в спекулятивном смысле и тем, что обычно называют понятием. Тысячи и тысячи раз повторявшееся и превратившееся в предрассудок утверждение, что бесконечное не может быть постигнуто посредством понятия, имеет в виду понятие в последнем, одностороннем смысле.

Это философское мышление само нуждается в том, чтобы была понята его необходимость и оправдана его способность познавать абсолютные предметы. Но такое понимание и оправдание есть само по себе философское познание и поэтому может иметь место лишь внутри философии» [92] .

Всякое конечное – бесконечно, являя собой форму-границу этого бесконечного в его бесконечном переходе к абсолютному. И именно понимание, спекулятивное, бесконечно-всеобщее понимание и рефлексия понимания своего понимания позволяют непосредственно увидеть, что «самое-самое-самое» большое число тоже является и не может не являться ничем иным как формой-границей своего рода чисел, которые закономерно вырастают из простого бесконечного числа, которое уже не может быть никаким образом увеличено лишь по той простой причине, что являет собой новое качество (ещё раз):

«Делая мысль своим предметом, я нахожусь у самого себя. «Я», мышление, согласно этому, бесконечно, потому что оно в мышлении соотносится с предметом, который есть оно само. Предмет вообще есть нечто другое, нечто отрицательное по отношению ко мне. Но если мышление мыслит само себя, то оно имеет предмет, который вместе с тем не есть предмет, т. е. имеет снятый, идеальный (ideeller) предмет; мышление как таковое в своей чистоте не имеет, следовательно, предела в себе. Конечным оно является лишь постольку, поскольку оно останавливается на ограниченных определениях, которые признаются им чем-то последним. Бесконечное, или спекулятивное, мышление точно так же определяет, но, определяя, ограничивая, оно снова снимает этот недостаток. Не следует подобно обычному представлению понимать бесконечность как абстрактное выхождение за всякий вновь возникающий предел, а следует понимать его тем простым способом, который мы разъяснили выше» [93] .

Стоит со всем вниманием сравнить данное определение бесконечного (Ф.Гегеля) с тем, которое было дано Кантором, а сравнив увидеть и понять, что вполне можно говорить об их полной тождественности в силу фундаментальной рефлексивности обоих:

«Кантор определил бесконечное множество как такое множество, которое можно поставить во взаимно-однозначное соответствие со своим собственным (т. е. отличным от всего множества) подмножеством»

Иными словами, бесконечное осуществляется и существует тогда, когда, например, можно установить взаимно однозначное соответствие между рядом целых чисел и  подмножеством  - рядом четных чисел. Со здравой, т.е. формально-обыденной точки зрения четных чисел должно быть вдвое меньше чем целых:

«Каждому целому числу при этом соответствует ровно одно четное число (равное удвоенному целому), а каждому четному числу соответствует ровно одно целое число (равное половине четного). Следовательно, в каждом из двух бесконечных множеств — множестве целых чисел и множестве четных чисел — элементов столько же, сколько в другом множестве. Установленное соответствие (то, что все множество целых чисел можно поставить во взаимно-однозначное соответствие с частью этого множества) казалось неразумным предшественникам Кантора и заставляло их отвергать все попытки рассмотрения бесконечных множеств. Но это не испугало Кантора. С присущей ему проницательностью он понял, что бесконечные множества могут подчиняться новым законам, не применимым к конечным совокупностям или множествам, подобно тому как, например, кватернионы подчиняются законам, не применимым к вещественным числам. И Кантор определил бесконечное множество как такое множество, которое можно поставить во взаимно-однозначное соответствие со своим собственным (т. е. отличным от всего множества) подмножеством» [94] .

Таким образом, для бесконечных множеств формальная логика оказывается неприменима, ибо для них, например, часть равна целому.

Неудивительно, что такая логика не могла найти поддержки и признания у многих именитых ученых [95] , которые в силу возникновения такого рода логических парадоксов поступали просто – они отказывали актуальной бесконечности в праве на существования, считая возможной лишь потенциальную бесконечность:

«Большинство математиков (Галилей, Лейбниц, Коши, Гаусс и другие) отчетливо понимали различие между потенциально бесконечными и актуально бесконечными множествами и исключали актуально бесконечные множества из рассмотрения. Если им приходилось, например, говорить о множестве всех рациональных чисел, то они отказывались приписывать этому множеству число — его мощность. Декарт утверждал: «Бесконечность распознаваема, но не познаваема». Гаусс писал в 1831 г. Шумахеру: «В математике бесконечную величину никогда нельзя использовать как нечто окончательное; бесконечность — не более чем façon de parle [манера выражаться], означающая предел, к которому стремятся одни величины, когда другие бесконечно убывают».

Таким образом, введя актуально бесконечные множества, Кантор выступил против традиционных представлений о бесконечности, разделяемых великими математиками прошлого. Свою позицию Кантор пытался аргументировать ссылкой на то, что потенциальная бесконечность в действительности зависит от логически предшествующей ей актуальной бесконечности. Кантор указывал также на то, что десятичные разложения иррациональных чисел, например числа , представляют собой актуально бесконечные множества, поскольку любой конечный отрезок такого разложения дает лишь конечное приближение к иррациональному числу. Сознавая, сколь резко он расходится во взглядах со своими предшественниками, Кантор с горечью признался в 1883 г.: «Я оказался в своего рода оппозиции к общепринятым взглядам на математическую бесконечность и к нередко отстаиваемым суждениям о природе числа».

В 1873 г. Кантор не только занялся изучением бесконечных множеств как «готовых» (т.е. реально существующих) сущностей, но и поставил задачу классифицировать актуально бесконечные множества ([15]*, [53]) [96] . Введенные Кантором определения позволяли сравнивать два актуально бесконечных множества и устанавливать, содержат ли они одинаковое, «число элементов» или нет. Основная идея Кантора сводилась к установлению взаимно-однозначного соответствия между множествами» [97] .

Но актуальная бесконечность – это простая реальность математики:  

«Классическим примером актуально бесконечного множества по К. являются десятичные разложения иррациональных чисел, т.к. каждый "конечный отрезок такого разложения дает лишь конечное приближение к иррациональному числу". К 1873 относится начало исследований К. по классификации актуально бесконечных множеств. Немного позднее К. определил бесконечное множество как множество, для которого существует взаимно однозначное соответствие с его собственным подмножеством (т.е. отличным от всего множества). Одним из следствий такого подхода стала, например, возможность установления взаимно однозначного соответствия между точками прямой линии и точками многообразия любой размерности. Основываясь на собственном определении бесконечных множеств, К. смог установить для каждой пары из них отношение эквивалентности (равномощности). В 1874 К. доказал несчетность множества всех действительных чисел, установив при этом существование пар бесконечных множеств, имеющих различные мощности (неэквивалентных множеств). Систематически основы своей теории математической бесконечности К. изложил в 1879—1884. Основанием иерархии бесконечностей К. стала доказанная в первой половине 1890-х широко известная теорема К.-Бернштейна: "если два множества А и В таковы, что существует взаимно однозначное соответствие между множеством А и подмножеством множества В и между множеством В и подмножеством множества А, то возможно установить также и взаимно однозначное соответствие между множеством А и множеством В", т.е. установить равномощность (эквивалентность) множеств А и В. При этом, К. определял, что если множество А возможно поставить во взаимно однозначное соответствие с собственным подмножеством В, а множество В невозможно поставить во взаимно однозначное соответствие с собственным подмножеством А, то множество В по определению больше множества А. По мнению М.Клайна, такое определение обобщает на случай бесконечных множеств то, что "непосредственно очевидно в случае конечных множеств". Следуя данному подходу, К. доказал, что для любого "заданного множества всегда найдется множество, большее исходного" (например, множество всех подмножеств данного множества больше первоначального множества). То, что между двумя мощностями возможно установление отношений "равенство", "больше" и "меньше", дало К. основание назвать "числами" символы обозначения мощностей бесконечных множеств (для конечных множеств символы обозначения их мощности суть числа натурального ряда, определяющие количество элементов в каждом из эквивалентных конечных множеств). В отличие от чисел натурального ряда [ординальных чисел /от нем. Die Ordinalzahl (Ordnungzahl) — числительные порядковые — C.C.I, К. назвал кардинальными числами (от нем. Die Kardinalzahl — числительные количественные)] "числа" обозначения мощности бесконечных множеств. К. считал, что область определенных величин не исчерпывается конечными величинами, т.к. об "актуальном бесконечном также возможно доказательное знание". Если понятие мощности было расширенным понятием "количество" для бесконечных множеств, то понятие кардинального числа стало расширенным обобщением понятия "числа вообще". Расширение К. понятия "числа" в область Бесконечного ознаменовало переход математики на качественно новый уровень мышления. Фактически, мощность множеств по К. отражает в сознании человека-исследователя определенные отношения множеств, т.е. мощность множеств по К. — это наиболее общая характеристика эквивалентных бесконечных множеств. Больцано еще в начале 19 в. пришел к понятию взаимно однозначного соответствия между множествами (а, следовательно, и к понятию мощностей множеств и выражению их кардинальными числами)» [98] .

Итак, ещё раз: ««самое-самое-самое» большое число тоже является и не может не являться ничем иным как формой-границей нового рода чисел, которые закономерно вырастают из простого бесконечного числа, которое уже не может быть никаким образом увеличено лишь по той простой причине, что являет собой новое качество».

«По нашей основной таблице типов числа мнимая величина должна явиться, между прочим, диалектическим синтезом нуля и бесконечности. Этот вопрос надо проанализировать по существу.

Нуль есть синтез положительного и отрицательного числа, или, по общему правилу диалектического синтезирования, граница между положительным и  отрицательным числом; проведя границу вокруг положительного числа и тем отличивши его от бесконечной стихии  отрицательности, мы и получаем этот синтез —  ограниченность положительного числа. Далее, бесконечность есть диалектический синтез целого и дробного; это — граница между тем и другим. Дробное — то, чем является целое в своем инобытии, если отнять само целое и взять только инобытийные корреляты целого. Если теперь перенести в это инобытие и само целое, то это целое окажется полной недостижимостью для тех частей, из которых состоит инобытие целого, потому что инобытие есть всегда неразделимость, а, подвергнутое счету, оно есть всегда неисчислимость. Потому граница, отделяющая  целое от дробного [99] в этом диалектическом синтезе, состоит из бесконечного количества точек; она есть, короче  говоря, бесконечность.